ъгли в окръжност

Разглежданите видове ъгли в окръжност ще бъдат условно разделени на две групи: 

а) върхът на ъгъла лежи на окръжността - такива са вписан и периферен ъгъл; 

б) върхът на ъгъла не лежи на окръжността - такива са централен ъгъл, ъгъл между две хорди, ъгъл между две секущи.

Вписан ъгъл - върхът на ъгъла лежи на окръжността, рамената му са две хорди. На чертежа това е ъгъл ACB. Централният ъгъл AOB = 2*ACB.

Периферен ъгъл - върхът на ъгъла лежи на окръжността, рамената му са хорда AC и допирателна CD. На чертежа това е ъгъл ACD. Централният ъгъл AOC = 2*ACD. Вписаният ъгъл ABC = ACD.

Централен ъгъл (вътрешен за окръжност) - върхът на ъгъла съвпада с центъра на окръжността. На чертежа това е ъгъл AOB.

Ъгълът между две хорди от една окръжност (вътрешен за окръжност) е равен на средно аритметичната стойност на сумата от заключените между тях две дъги.

Ъгълът между две секущи от една окръжност (външен за окръжност) е равен на средно аритметичната стойност на разликата от заключените между тях две дъги.

Да се реализира проект - по въведени координати на три точки да се илюстрират ъгли в окръжност.

Чрез приложението се посочват: координати на три точки A, B, C за върхове на триъгълник, като последната точка C е и точка на допиране. 

Изчисляват се координати за център O(x,y) на описана окръжност (пресечна точка на симетрали) и стойност за радиус R.

Построява се окръжност, маркира се точката на центъра - на чертежа в лилаво.

Маркира се допирната точка C.

В т. C се построява допирателна права CD перпендикулярна на радиуса OC - рамо на периферния ъгъл ACD. 

Построяват се двата радиуса OA, OB - рамене на централния ъгъл AOB.

Построяват се двете хорди AC, BC - рамене на вписания ъгъл ACB.

Полезна информация относно задачи за ъгли в окръжност:

От теорема за допирателна и хорда (alternate segment theorem) - в окръжност ъгълът между две хорди AC и BC е равен на ъгъла  между допирателната DA и хордата AB, където т.D е външна за окръжността точка, а точки A, B, C са върхове на вписания триъгълник ABC в същата окръжност. Докажете, че произволен вписан ъгъл с връх (т.Е) точка от дъгата BC има същата стойност като и периферния ъгъл BAD.

От теорема на Талес - описана окръжност около правоъгълен триъгълник. Ако се приеме, че диаметърът на окръжността (и хипотенуза на триъгълника) разполовява равнината, то той образува два централни ъгъла всеки по 180°. Срещулежащият на хипотенузата вписан ъгъл е 90°. Ако в двете крайни точки на хипотенузата се построят допирателни към нея ще се образуват 4 равни периферни ъгъла всеки по 90°.

Права, инцидентна с център на окръжност и общата точка на двойка допирателни към същата окръжност  е ъглополовяща на сключения между две допирателни ъгъл. Обратното твърдение също е вярно - доказва се с еднакви правоъгълни триъгълници.

Нека в окръжност е построена хорда, която дели окръжността на две не непременно равни дъги. Всички вписани ъгли, чиито върхове лежат на една и съща дъга (от една и съща страна на хордата) са равни. Задачата е позната като ъгли от същия сегмент (Angles in the same segment).

От външна за окръжност точка е построена допирателна към окръжността. Радиус на окръжността в точка на допиране е перпендикулярен на допирателната в тази точка - степен на точка.

Диаметър на окръжност, перпендикулярен на хорда я разполовява. Обратното твърдение също е вярно - ако хорда е симетрала на хорда от същата окръжност, то тя е и диаметър на окръжността.

Отсечката, свързваща допирните точки на двойка допирателни и отсечката свързваща центъра на окръжността и пресечната точка на двете допирателни са двойка перпендикулярни отсечки. Те са диагонали в делтоид.

Ако две хорди са взаимно перпендикулярни отсечки и поне едната разполовява другата, то те могат да бъдат диагонали на квадрат или правоъгълен делтоид.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжност, описана окръжност, вписана окръжност, теорема за допирателна и секуща, външна допирателна, вътрешна допирателна, теорема за допирателна и хорда,  пресичащи се хорди, пресичащи се секущи.