числови редици

В математиката числова редица (number sequence) е съвкупност от стойности (елементи на редицата, терми), в която се допускат повторения. Броят на елементите в нея се нарича дължина на редицата, той може да бъде краен или безкраен. Допустимо е един и същ елемент или съвкупност от елементи да се съдържат многократно в числовата редица на различни позиции. Позицията на всеки елемент в числовата редица е негов индекс. Дадена числова редица може да бъде представена: чрез запис на всички нейни елементи, чрез таблица, диаграма или чрез рекурентна формула за нейния общ член, макар това не винаги да е възможно. Използването на математическа индукция е препоръчителен метод за доказване определени свойства на числови редици, особено за такива, чието описание е рекурсивно.

Употребата на числови редици е удобен начин за изследване на вече изграден математически модел. В древността годишните данъци за селскостопанската реколта (в Египет) са били определяни съобразно достигнатото ниво на река Нил. Дългосрочната метеорологична прогноза ползва данни за предходни периоди - съхранявани като съвкупност от числови редици. Не на последно място е приложението им в различни IQ тестове, за оценяване аналитичните възможности, тестове за правоспособност и психометрични тестове за интелигентност.

В предоставените примерни задачи се разглеждат и задачи, чието решение ползва рекурентна формула. Във всяко условие са дадени първите няколко елемента. Необходимо е да се реализира програма, използваща две подобни функции - рекурсия и итерация. Често срещано решение е: формула за общия член на аритметична/геометрична прогресия, формула за коефициенти на вид полином или формули за числа на Фибоначи, Трибоначи, Тетраначи ... и други подобни на тях.

Широк кръг задачи, разглеждащи последователни елементи в числова редица, използват експлицитна, явно зададена формула - такива са случаите с аритметична и геометрична прогресия, фигурни числа и др. Такава е и задачата за числова редица с числа на венчелистчето - задача от областта на занимателната математика.

Построени са n броя окръжности, с равни радиуси и с център връх на правилен n-ъгълник. Търсят се общия брой пресечни точки. Очевидно се разглеждат случаи за естествено число n>1. По подразбиране при n>1 всички построени окръжности имат обща пресечна точка и тя е центъра на описаната/вписаната окръжност на правилния n-ъгълник. При нарастване на n съществува възможност построените окръжности да са толкова плътно, че да не могат визуално да се отчетат всички пресечни точки. При нарастване броя на елементите се получава вплътняване на построените окръжности и всяка от тя се пресича с нарастващ брой други окръжности от фигурата. Пресечните точки се групират в концентрични окръжности, но във всяка от тези окръжности принадлежат константен брой n точки.

Числа на венчелистчето е вид числова редица от семейство фигурни числа и съдържа следните n елемента: 1, 4, 5, 11, 13, 22, 25, 37, 41, 56, 61, 79, 85, 106, 113... за естествено число n>1.

За извеждане на поредния номер елемент могат да се ползват няколко алгоритъма:

емпиричен, чрез нагледно доказателство - създава се сорс код за генератор на геометрична фигура и броя пресечни точки се отчитат чрез циклично прилагане на алгоритъм реализиращ положения на две окръжности;

чрез прилагане на математическа индукция се извежда експлицитната формула: K = 0.5*n*(n + m - 2) + 1, където:

K - поредния елемент от разглежданата числова редица;

n - номер на елемент;

m - брой образувани концентрични окръжности: m = 0.5*(n + n%2 - 2), където (n % 2) модул на номера, има стойност 1 или 0 в зависимост дали е нечетен или четен поредния номер.

Началните елементи на разглежданата числова редица са:

n = 2, m = 0, K=1 - формулата разглежда случаи за n>1, за n = 2 окръжностите имат само една обща точка

n = 3, m = 1, K = 4 - пресечните точки принадлежат на 1 окръжност с център общата пресечна точка на построените окръжности;

n = 4, m = 1, K = 5 - пресечните точки принадлежат на 1 окръжност с център общата пресечна точка на построените окръжности;

n = 5, m = 2, K = 11 - пресечните точки принадлежат на две концентрични окръжности

…

n = 9, m = 4, K = 37 - пресечните точки принадлежат на 4 концентрични окръжности

Алгоритъмът за генериране на изображението е свързан с формиране на правилен n-ъгълник и в много части наподобява задачата за арменска спирала.

Разгледайте други основни типове примерни задачи, използващи рекурсия и итерация, за чието решение се използват математическа индукция и фигурни числа.