числа на Пел

Изчисляването числа на Пел (Pell numbers) е свързано с изчисляване на корен от 2. Всеки от членовете на редица 1/1; 3/2; 7/5; 17/12; 41/29, 99/70; 239/169... дава приближение на търсената стойност. 

Ще бъдат разгледани последователно редицата на знаменателите и числителите.

Числата на Пел са цели числа, знаменатели в тази безкрайна последователност от подходящи дроби (1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378...)  са представени в https://oeis.org/A000129. 

Числата на Пел могат да бъдат изчислени по формулата:

могат да бъдат изчислени като верижна дроб:

Чрез горната графика често се илюстрира изчисляване на сребърно сечение (сребърно отношение, сребърна пропорция, сребърна константа).

Числата на Пел могат да бъдат изчислени чрез рекурентна формула (подобна на Фибоначи): P(n) = 2*P(n-1) + P(n-2) за P(0)=0; P(1)=1;

Всеки елемент на числовата редица (изключвайки първите 2) е сума от удвоената стойност на предходния член и стойността на елемента преди него.

числа на Пел-Lucas

Числа на Пел-Lucas (Pell-Lucas numbers) са компаньони на числа на Пел, представени са в https://oeis.org/A002203 и дават удвоената стойност на числителите (2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, 6726, 16238 ) от безкрайната редица дроби за изчисляване на корен от 2. 

Числата на Пел-Лукас могат да бъдат изчислени по формулата:

Рекурентната формула за елемент на същата числова редица е сума от удвоената стойност на предходния член и стойността на елемента преди него:

 Q(n) = 2*Q(n-1) + Q(n-2), за Q(0) = Q(1) = 2.

Приложение на числата на Пел: за търсене на квадратни триъгълни числа, в комбинаторни задачи, за намиране на питагорови тройки числа имащи 1 разлика в дължината на двата катета ((3,4,5); (20,21,29); (119,120,169); (696,697,985)...)

И двете числови редици - числа на Пел и числа на Пел-Лукас могат да бъдат изчислени чрез формула подобна на числа на Фибоначи и двете редици нарастват пропорционално на степен на сребърната пропорция (silver ratio). Последната е подобна на златната пропорция и също е смятана за хармонична. Използва се при определяне размерите на книжно тяло. Пример: най-често разпространения размер на машинописна страница е A4, чийто размери са в отношение сребърна пропорция със стойност: 2.4142135623730950488... също ирационално число.

Сребърна пропорция може да се представи с формулата: число на Пел + 1 или (2*a+b)/a = a/b -  отношението между сумата от удвоената по-голяма стойност и по-малката стойност към по-голямата стойност е равно на отношението на по-голямата към по-малката стойност. За сравнение: златна пропорция може да се представи с формулата:  (a+b)/a = a/b

Сребърна пропорция може да се представи графично като отношение между дължина на страна на правилен осмоъгълник и разстоянието между две съседни негови страни, като (сребърен) правоъгълник с отношение между дължини на страните 1+ √2 и 1.

Допълнителна информация за числа на Пел и сребърно отношение може да намерите в: https://en.wikipedia.org/wiki/Silver_ratio; http://mathworld.wolfram.com/PellNumber.html.

Следват условия на две задачи по програмиране за изчисляване числа на Пел и техните компаньони числа на Пел-Лукас.

Напишете изходен (сорс) код на програма, чрез която се въвежда естествено число N от интервала [1..21] и се извеждат числа на Пел до указания номер.

Напишете изходен (сорс) код на програма, чрез която се въвежда естествено число N от интервала [1..21] и се извеждат числа на Пел-Лукас до указания номер.

Програмата да използва две аналогични функции - рекурсия и итерация.

Разгледайте примерни задачи за фигури с числа - несиметричен триъгълник на Фибоначи-Паскал, триъгълник на Pell, триъгълник на Pell-Jacobstal, триъгълник на Perrin.