числа на Stirling

Числата на Stirling (по името на техния автор James Stirling, който ги е представил пре XVIII век) играят важна роля в комбинаториката. Разглеждат се предимно два вида. Общото между тях е, че описват коефициенти, свързани с често срещани полиноми. При представянето им се ползва триъгълник, аналогично с биномни коефициенти.

Триъгълник на Stirling от вид 1 представя брой пермутации от ред n с k цикъла. Числовата редица е представена в https://oeis.org/A008275 с рекурентна формула S1(n, k) = S1(n-1, k-1) - (n-1)*S1(n-1, k). Абсолютната стойност на елементите от най-лявата колона в n-тия ред е стойността на n!, а сумата на ред е 0.

Триъгълник на Stirling от вид 2 представя броя неподредени разбивания на n-елементно множество на k броя непразни множества. Числовата редица е представена в https://oeis.org/A008277 с рекурентна формула S2(n, k) = k*S2(n-1, k) + S2(n-1, k-1). Сумата на елементите от ред k в този вид триъгълник на Stirling съответства на k-тото число на Bell.

В литературата се споменава и за числа на Stirling от вид 3, но тук те са разгледани отделно, под названието числа на Lah.

Съставете програма, чрез която се въвежда естествено число N от интервала [1..15] и се извеждат съответния брой редове от триъгълник на Stirling. Програмата да използва две аналогични функции - рекурсия и итерация.

Подробно описание за числа на Stirling може да намерите на следните адреси: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number; http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html; http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html.

Разгледайте други основни типове примерни задачи свързани с фигури с числа и изчисляване на факториел. Прочетете допълнителен материал за: факториел, числа на Lah, триъгълник на Lah, числа на Bell, триъгълник на Bell.