формули и теореми

Таблицата съдържа формули за изчисляване на многоъгълни, центрирани и пирамидални числа.

Особености на многоъгълните числа:

Всяко триъгълно число е равно на полупроизведението от текущия номер и следващия номер.

Фигура, съставена от две еднакви триъгълни числа образува успоредник.

Всеки квадрат на естествено число може да се разглежда като сума от две съседни триъгълни числа. Пример: 6+10 = 4*4.

Всяко квадратно число може да се представи като сума от поредния му номер и удвоеното предходно триъгълно число. Пример: 4*4 = 4+2*6 като 16 е 4-тото квадратно число, а 3-тото триъгълно число е 6.

Сумата от последователни нечетни естествени числа е равна на квадрата от техния брой. Пример: 1+3+5+7+9 = 5*5.

Сумата от 1 и осемкратното произведение с триъгълно числа е квадрат, Пример: 1+ 8*6 = 7*7.

Съществува специфична група правоъгълни числа - произведение от две съседни цели числа.

Петоъгълно число може да се представи като сума от поредния му номер и утроеното предходно триъгълно число.

Утроено петоъгълно число е и триъгълно число.

Петоъгълно число може да се представи като сума от квадрата на поредния си номер и предходния номер триъгълно число.

Шестоъгълно число може да се представи като сума от поредния номер и произведението на 4 и предходния номер триъгълно число.

Шестоъгълно число може да се представи като сума от утроеното предходно триъгълно число и триъгълното число със същия номер.

Шестоъгълните числа съвпадат с триъгълните числа с нечетен пореден номер.

Всяко многоъгълно число от ред k може да се представи като сума от поредния номер и произведението на (k-2) и предходното триъгълно число.

Всяко многоъгълно число от ред k може да се представи като сума от триъгълно число със същия пореден номер и произведението на (k-3) и предходното триъгълно число.

Квадратно пирамидално число може да се представи като сума от 2 триъгълно пирамидални числа - със същия и с предходния пореден номер.

Пирамидално число от ред k  може да се представи като сума от триъгълно пирамидално число със същия пореден номер и произведението на (k-3) и предходното пирамидално число.

Известни теореми за многоъгълни числа

Теон от Смирна: сумата от две последователни триъгълни числа е равна на квадрат.

Никомах от Гераза: сумата от r-тото m-ъгълно число и (r-1)-то триъгълно число е равно на r-тото (m+1)-ъгълно число.

Плутарх: сумата от 1 и произведението на триъгълно число с 8 дава квадрат.

Диофант: ако три числа образуват аритметична прогресия, то сумата от квадрата на по-малкото число и осемкратното произведение от по-голямото и средното число дава квадрата на сумата от по-голямото число и удвоеното средно число. Пример с 3,4,5.

9+8*4*5 = (5+2*4)* (5+2*4)

Диофант: сумата от N члена на аритметична прогресия е равна на произведението от броя членове на аритметичната прогресия и полусумата на най-големия и най-малкия член на прогресията.

Баше (издателят на Диофант) забелязва, че естествено число може да се представи като сума от 4 квадрата.

Теорема на Ферма :за многоъгълните числа:  всяко цяло положително число е или триъгълно, или сума от 2 или 3 триъгълни числа; всяко число е или квадрат, или сума от 2,3 или 4 квадрата; или петоъгълно или сума на 2,3,4 или 5 петоъгълни числа и т.н. Тази теорема е доказана  за триъгълните числа от Гаус (1801), за квадратните числа от Льожандър (1770), в общия случай от Коши (1815) .

Теорема на Лагранж: всяко естествено число е сума на 4 квадрата. Ако n е произволно цяло положително число, то неопределеното уравнение: n=w^2+x^2+y^2+z^2 има решение в цели числа w,x,y,z.

Теорема на Коши: Всяко цяло положително число равно на сумата от четири петоъгълни числа или на такава сума, увеличена с 1; на сумата т четири шестоъгълни числа или на такава сума, увеличена с 1 или 2; на сумата от четири седмоъгълни числа или на такава сума, увеличена с 1, 2 или 3 и т.н.

Твърдение за представимост (доказано от Гаус): Всички числа, които не са представими чрез суми от три квадрата и само те имат вида (8*t+7)*4^a.

Представяне на числата като суми от еднакви степени.

Проблем на Уоринг

Всяко естествено число е сума от 19 четвърти степени на естествени числа. Твърдението не е доказано. Харди и Литлууд проверяват и утвърждават верността на твърдението за числа не надвишаващи 10^1000.

Всяко естествено число е сума на r k-мерни куба, като k и r не зависят от n.

Представяне на числата като суми от фигурни числа - равнинни и пространствени.

Поллок изказва хипотеза, че всяко естествено число  може да се представи като сума от 5 тетраедрални числа. Пример 17 = 1+4+4+4+4.

Дирихле доказва, че никое число от вида (8*t+7)*4^a не може да бъде сума от три квадрата.

През 1830 г. Legendre доказва, че всяко число по-голямо от 1791 е сбор от четири шестоъгълни числа.

Интерес представлява и използването на неопределени уравнения (диофантови уравнения) при изчисляване на редица фигурни числа.

Списъкът на изброените формули и теореми е непълен, но в достатъчна степен илюстрира отделеното внимание на специфичните фигурни числа.

В някои случаи дадено отношение може да бъде непосредствено изведено от друго. Дж. Бърнал твърди, че е много по-лесно да откриеш нов факт или създадеш нова теория, отколкото да удостовериш, че те още не са създадени. Това в пълна сила се отнася и до разглежданите зависимости при видовете фигурни числа.