формули в числова редица

Разглежданите числови редици са явно/рекурентно зададени безкрайни редици с дефиниционно множество цели числа и детерминиран базов случай - едно или повече първи числа. По своят същност редиците са функции и могат да бъдат зададени с формули. Намиране стойността на елемент с определен номер (индекс) е лесно при познаване на формулата за общия член, от таблицата - ако редицата е представена таблично или от номограмата - ако редицата е представена графично. Кръг задачи включва определяне на конкретен член на числовата редица.

Броене без броене е директен отговор на въпроса: използване на експлицитна формула или рекурентна формула. Това е и смисъл на набора задачи как да се изчисли n-тия елемент на числова редица без да се налага изчисляване стойностите на всички предходни елементи.

Пътят за достигане до отговора за стойност на елемент с даден индекс може да бъде продължителен. Представянето на съвкупност от данни чрез формула с един или повече параметъра често минава през следващите няколко етапа: събиране на данните, анализ и структурирането им, изработване на номограма и ако е възможно синтезиране на формула. Прочетете за извървения път през вековете, относно начините за изчисляване обиколка на окръжност - сега простичка формула за лесни задачи.

Два от често разпространите типа задачи са свързани с прогресии.

Геометрична прогресия - формули за n-тия член на прогресията: a(n)=a(1)*q^(n-1), рекурентна a(n)=a(n-1)*q.

Аритметична прогресия - формули за n-тия член на аритметична прогресия: a(n) = a1+(n-1)*d, рекурентна a(n) = a(n-1)+d, където d разлика на прогресията.

Редица с четни числа - формули за n-тия член: a(n)=2*n; a(n)=a(n-1)+2; рекурентна a(n) = 2a(n-1) - a(n-2). Начални елементи: 0, 2, 4, 6, 8, 10...

Редица с нечетни числа - формули за n-тия член: a(n)=2*n+1; рекурентна a(n)=a(n-1)+2. Начални елементи: 1, 3, 5, 7, 9, 11...

Редица с триъгълни числа - формули за n-тия член: a(n)=n*(n+1)/2; рекурентна a(n) = a(n-2) + 2*n - 1. Начални елементи: 0, 1, 3, 6, 10...

Редица с правоъгълни числа, сумата на първите n четни числа - формули за n-тия член: a(n)=n*(n+1); рекурентна a(n)=a(n-1)+2*n. Начални елементи: 0, 2, 6, 12, 20...

Редица с квадратни числа; сумата на първите n нечетни числа - формули за n-тия член: a(n)=n*n; рекурентна a(n) = 2*a(n-1) - a(n-2) + 2. Начални елементи: 0, 1, 4, 9, 16, 25...

Редица с квадратно пирамидални числа, сумата на квадратите от първите n числа - формули за n-тия член: a(n)=n*(n+1)*(2*n+1)/6; рекурентна a(n) = 3*a(n-1) - 3*a(n-2) + a(n-3) + 2. Начални елементи: 0, 1, 5, 14, 30, 55...

Числовата редица сума в ред/стълб от магически квадрат - формули за n-тия член: a(n) = n*(n^2 + 1)/2; рекурентна a(n) = 3*a(n-1) - 3*a(n-2) + a(n-3) + 3. Начални елементи: 0, 1, 5, 15, 34, 65...

Редица с куполни числа - формули за n-тия член: a(n) = (n+1)*(5*n^2+7*n+3)/3; рекурентна a(n) = 4*a(n-1)-6*a(n-2)+4*a(n-3)-a(n-4). Начални елементи: 1, 10, 37, 92, 185, 326, 525...

Числова редица представяща стелла октангула - формули за n-тия член: a(n) = n*(2*n^2 - 1); рекурентна a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-4). Начални елементи: 0, 1, 14, 51, 124, 245...

Числова редица представяща звезда на Давид - формули за n-тия член: 6*n*(n-1) + 1; рекурентна a(n) = 12*(n-1) + a(n-1), за n>1. Начални елементи: 1, 13, 37, 73, 121...

Числова редица на додекаедъра - формули за n-тия член: a(n) = n*(3*n - 1)*(3*n - 2)/2; рекурентна a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-4). Начални елементи: 0, 1, 20, 84, 220, 455...

Числова редица на октоедъра - формули за n-тия член: a(n) = n*(2*n^2 + 1)/3; рекурентна a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-4) за n>3. Начални елементи: 0, 1, 6, 19, 44, 85, 146...

Числова редица на куба - формули за n-тия член: a(n) = n^3; рекурентна a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-4) за n>3. Начални елементи: 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216...

Числова редица на тетраедъра (Tetrahedral или triangular pyramidal numbers:) - формули за n-тия член: a(n) = n*(n+1)*(n+2)/6; рекурентна a(n) = 3*a(n-1) - 3*a(n-2) + a(n-3) + 1. Начални елементи: 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56...

Числова редица на икосаедъра - формули за n-тия член: a(n) = n*(5*n^2 - 5*n + 2)/2; рекурентна a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-4). Начални елементи: 1, 12, 48, 124, 255...

Редица с числа Pinwheel - формули за n-тия член: a(n) = 2*n^2 + 6*n + 1; рекурентна a(n) = 4*n + a(n-1) + 4 за n>0. Начални елементи: 1, 9, 21, 37, 57, 81...

Числова редица на Lazy Caterer (Lazy Caterer's sequence) - формули за n-тия член: a(n) = n*(n+1)/2 + 1; рекурентна a(n) = 2*a(n-1)-a(n-2)+1. Начални елементи: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22...

Редица с числа на Jacobsthal-Lucas - формули за n-тия член: a(n) = 2^n + (-1)^n; рекурентна a(n) = a(n-1) + 2*a(n-2). Начални елементи: 2, 1, 5, 7, 17, 31...

Редица с числа на Jacobsthal - формули за n-тия член: a(n+1) = ceiling(2^n/3) + floor(2^n/3); рекурентна a(n) = a(n-1) + 2*a(n-2). Начални елементи: 0, 1, 1, 3, 5, 11...

Редицата с числа представящи оцветяване върхове на триъгълник - формули за n-тия член: a(n) = (n^3 + 2*n)/3; рекурентна a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-4); за n > 3. Начални елементи: 0, 1, 4, 11, 24, 45...

Редица с числа на Carol - формули за n-тия член: a(n) = (2^n-1)^2 - 2; рекурентна a(n) = 6*a(n-1)-7*a(n-2)-6*a(n-3)+8*a(n-4). Начални елементи: -1, 7, 47, 223, 959...

Редица с числа на окръжностите - формули за n-тия член: a(n) = n^2 + n + 2; рекурентна a(n) = 3*a(n-1) - 3*a(n-2) + a(n-3). Начални елементи: 2, 4, 8, 14, 22, 32...

Редица с числа на хордите - формули за n-тия член: a(n) = (n^4 - 6*n^3 + 23*n^2 - 18*n + 24)/24; рекурентна a(n) = 5*a(n-1) - 10*a(n-2) + 10*a(n-3) - 5*a(n-4) + a(n-5), за n > 4. Начални елементи: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57...

Редица с числа на тортата - формули за n-тия член: a(n) = (n+1)*(n^2-n+6)/6 = (n^3 + 5*n + 6) / 6; рекурентна a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-1). Начални елементи: 1, 2, 4, 8, 15, 26...

Редица с числа на тороида - формули за n-тия член: a(n) = (n^3 + 3*n^2 + 8*n)/6; рекурентна a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-4). Начални елементи: 1, 2, 6, 13, 24, 40...

Редица с числа на сферите - формули за n-тия член: a(n) = n*(n^2 - 3*n + 8)/3 (n >= 0); рекурентна a(n) = a(n-1) + n*(n-3) + 4, a(0) = 0; a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-4). Начални елементи: 0, 2, 4, 8, 16, 30...

Редица с числа на пръстена - формули за n-тия член: a(n) = n*(n+3)/2; рекурентна a(n) = 3*a(n-1) - 3*a(n-2) + a(n-3); a(n) = a(n-1) + n + 1. Начални елементи: 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27...

Редица с числа на елипсите - формули за n-тия член: a(n) = 2*(n^2 - n + 1); рекурентна a(n) = 4*n + a(n-1) - 4 за n > 0. Начални елементи: 2, 2, 6, 14, 26, 42...

Числова редица центрирани многоъгълни числа (квадратна спирала) - формули за n-тия член: a(n) = n^2 - n + 1; рекурентна a(n) = a(n-1) + 2*(n-1) = 2*a(n-1) - a(n-2) + 2. Начални елементи: 1, 1, 3, 7, 13, 21, 31...

Числова редица представяща лице на вид триъгълник на Херон, имащ координати на върховете (b(n-2),b(n-1)), (b(n), b(n+1)) и (b(n+2),b(n+3)) - формули за n-тия член: a(n) = 2*n^2 + 6*n + 2; рекурентна a(n) = 4*(n+1)+a(n-1), за n>0. Начални елементи: 2, 10, 22, 38, 58, 82...

Числова редица диагонал в 8-ъгълна спирала по посока на компаса Изток:Запад - формули за n-тия член:a(n) = 4*n + 1; рекурентна a(n) = 2*a(n-1) - a(n-2); n>3. Начални елементи: 1, 5, 9, 13, 17, 21...

Числова редица суми с правоъгълни числа - формули за n-тия член: a(n) = (2*(n+1) - 3*(n+1)^2 + (n+1)^3)/3; рекурентна a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-4). Начални елементи: 0, 2, 8, 20, 40, 70...

Числова редица група на алкани - формули за n-тия член: a(n) = (n + 2)*(3*(-1)^n + 2*n^2 + 8*n + 9)/24; рекурентна a(n) = 2*a(n-1) + a(n-2) - 4*a(n-3) + a(n-4) + 2*a(n-5) - a(n-6). Начални елементи: 1, 2, 6, 10, 19, 28, 44...

Числова редица група на алкалоземни метали - формули за n-тия член: a(n) = (n+1)*(3 + 2*n^2 + 4*n - 3*(-1)^n)/12; рекурентна a(n)= +2*a(n-1) +a(n-2) -4*a(n-3) +a(n-4) +2*a(n-5) -a(n-6). Начални елементи: 2, 4, 12, 20, 38, 56, 88...

Числова редица група на медта - формули за n-тия член: a(n) = (n^3 + 9*n^2 + 26*n - 30)/6 за n четно, a(n) = (n^3 + 9*n^2 + 29*n - 21)/6 за n нечетно; рекурентна a(n) = 2*a(n-1) + a(n-2) - 4*a(n-3) + a(n-4) + 2*a(n-5) - a(n-6) за n>6. Начални елементи: 3, 11, 29, 47, 79, 111, 161, 211, 283...

Числова редица група на цинка - формули за n-тия член:a(n) = (n^3 + 9*n^2 + 26*n - 24)/6 за n четно, a(n) = (n^3 + 9*n^2 + 29*n - 15)/6 за n нечетно; рекурентна a(n) = 2*a(n-1) + a(n-2) - 4*a(n-3) + a(n-4) + 2*a(n-5) - a(n-6) за n>8. Начални елементи: 30, 48, 80, 112, 162, 212, 284, 356, 454, 552, 680, 808, 970...

Числова редица борна група - формули за n-тия член: a(n) = n*((n+3)^2 + 2)/6 + (n+2)*(1+(-1)^n)/4 - 6, за n >= 2; рекурентна a(n) = 2*a(n-1) + a(n-2) - 4*a(n-3) + a(n-4) + 2*a(n-5) - a(n-6). Начални елементи: 5, 13, 31, 49, 81, 113, 163, 213...

Числова редица въглеродна група - формули за n-тия член:a(n) = (n^3 + 6*n^2 + 14*n - 24)/6 за n четно, a(n) = (n^3 + 6*n^2 + 11*n - 30)/6 за n нечетно; рекурентна a(n) = 2*a(n-1) + a(n-2) - 4*a(n-3) + a(n-4) + 2*a(n-5) - a(n-6) за n>7. Начални елементи: 6, 14, 32, 50, 82, 114, 164, 214, 286, 358...

Числова редица азотна група - формули за n-тия член: a(n) = (n^3+6*n^2+14*n-18)/6 за n четно, a(n) = (n^3+6*n^2+11*n-24)/6 за n нечетно; рекурентна a(n) = 2*a(n-1)+a(n-2)-4*a(n-3)+a(n-4)+2*a(n-5)-a(n-6) за n>7. Начални елементи: 7, 15, 33, 51, 83, 115, 165, 215, 287, 359, 457...

Числова редица група на на халкогените - формули за n-тия член: a(n) = (2*n^3 + 12*n^2 + 25*n + (-1)^n*3*(n + 2) - 30)/12; рекурентна a(n) = 2*a(n-1)+a(n-2)-4*a(n-3)+a(n-4)+2*a(n-5)-a(n-6) за n>7. Начални елементи: 8, 16, 34, 52, 84, 116, 166, 216, 288, 360...

Числова редица група на халогените - формули за n-тия член: a(n) = (2*n^3 + 12*n^2 + 28*n - 12)/12 за n>2 и четно, a(n) = (2*n^3 + 12*n^2 + 22*n - 24)/12 за n>2 и четно; рекурентна a(n) = 2*a(n-1) + a(n-2) - 4*a(n-3) + a(n-4) + 2*a(n-5) - a(n-6) за n>8. Начални елементи: 1, 11, 17, 35, 53, 85, 117, 167, 217, 289...

Като използвате метода математическа индукция докажете верността на двойка формули.