числа на сферите

Редицата с числа на сферите представя броя области, на които пространството може да бъде разделен от n броя сфери. Една сфера разделя пространството на две области - вътрешността на сферата и всичко извън нея; две сфери ще разделят пространството на 4 части: 1 обща област за двете сфери (сечение на множество), 2 области - отделните части на двете сфери (разлика на множество), 1 област - всичко не обхванато от сферите (допълнение на множество). Редицата е представена с рекурентна формула a(n) = a(n-1) + n*(n-3) + 4, за a(0) = 0. Като използвате метода на математическата индукция потърсете друга рекурентна формула. Начални елементи в редицата са: 0, 2, 4, 8, 16, 30, 52, 84...

Съставете програма, чрез която се въвежда естествено число N от интервала [2..31] и се извеждат последователните числа от редицата числа на сферите. Програмата да използва две аналогични функции - рекурсия и итерация. Направете няколко допускания: всички сфери са с еднакъв радиус R и имат междуцентрово разстояние d<R. Една сфера разделя пространството на 2 части - в сферата и извън нея. Две сфери дели пространството на 4 части: общата част, останалата част на всяка от сферите (2 броя) и пространството извън сферите. Подобна логика е разгледана в действия с множества.

Подробно описание за числа на сферите можете да намерите в:  http://mathworld.wolfram.com/SpaceDivisionbySpheres.html, http://oeis.org/A046127.

Числови редици, даващи възможност за представяне на елементите с повече от една формула, са разгледани във формули в числова редица. Такива са: числа на елипсите, числа на окръжностите, числа на пръстена, числа на тортата.

Разгледайте други основни типове примерни задачи, чието решение ползва рекурентни редици.  Потърсете допълнителен материал за: елементи в множество, суми с числа на сферите, триъгълник с числа на сферите,  числа на тортата, редица на Lazy Caterer, числа на тороида, числа на пръстена, числа на окръжностите, числа на хордите, числа на елипсите, формули в числова редица.