само-описващи се числа

В математиката само-описващо се число е цяло число m, което в дадена основа (на бройната система) b е b- цифрено, в която всяка цифра d на позиция n (най-важната цифра е в позиция 0, а нейния антипод в позиция b-1) брои колко от случаите на цифра n са в само-описващо се число m.

Например, в бройна система с основа 10, числото 6210001000 е само-описващо се защото:

В указаната бройна система 10 числото има 10 цифри, обозначаващи основата на използваната бройна система.

Числото има цифра 6 на позиция 0, което показва, че има шест цифри 0 в числото 6210001000.

Числото има цифра 2 на позиция 1, което показва, че има две цифри 1 в 6210001000.

Числото има цифра 1 на позиция 2, което показва, че има една цифра 2-ка в 6210001000.

Числото има цифра 0 на позиция 3, което показва, че няма цифра 3 в 6210001000.

Числото има цифра 0 на позиция 4, което показва, че няма цифра 4 в 6210001000.

Числото има цифра 0 на позиция 5, което показва, че няма цифра 5 в 6210001000.

Числото има цифра 1 на позиция 6, което показва, че има една цифра 6 от 6210001000.

Числото има цифра 0 на позиция 7, което показва, че няма цифра 7 в 6210001000.

Числото има цифра 0 на позиция 8, което показва, че няма цифра 8 в 6210001000.

Числото има цифра 0 на позиция 9, което показва, че няма цифра 9 в 6210001000.

В десетичната бройна система единственото само-описващо се число е 6210001000.

От описанието изглежда, че всички само-описващи се числа имат брой и сума цифри, равни на тяхната база, и че те са кратни на тази база. Първият факт се проявява тривиално от факта, че цифровата сума е равна на общия брой цифри, който е равен на базата, от дефиницията за само-описващо се число.

Това, че само-описващо се число в основа b трябва да бъде множество от тази база (или еквивалентно, че последната цифра на само-описващо се число трябва да бъде 0) може да бъде доказано чрез противоречие както следва: да приемем, че всъщност има само - дескриптиращо число m в основата b, което е b- digits дълго, но не и кратно на b . Цифрата в позиция b - 1 трябва да бъде най - малко 1, което означава, че има най - малко един пример за цифрата b - 1 в m . При всяко положение x тази цифра b - 1 пада, трябва да има поне b - 1 случаи на цифра x в m . Ето защо имаме поне едно копие на цифрата 1 и b - 1 копия на x . Ако x > 1, тогава m има повече от b цифри, което води до противоречие на нашето първоначално изявление. И ако x = 0 или 1, това също води до противоречие.

От това следва, че само-описващо се число в основата b е число Harshad (число Niven) в база b .

Обобщението на само-описващите се числа, наречени автобиографични номера, позволява по-малко цифри от основата на бройната система, стига цифрите, които са включени в числото, да са достатъчни, за да го опишат напълно. Например в бройна система с основа 10, числото 3211000 има 3 нули, 2 единици, 1 двойка и 1 тройка.

Допълнителна информация за само-описващи се числа може да намерите на адреси: https://en.wikipedia.org/wiki/Self-descriptive_number, https://rosettacode.org/wiki/Self-describing_numbers, https://oeis.org/A108551.

Разгледайте други типове примерни задачи, за чието решение се използват числови редици, числа и цифри. Потърсете допълнителен материал за: съставни числа, редица на Golomb, гладки числа, цифров корен, само-генерираща се редица.