питагорови тройки

Питагоровите тройки (pythagorean triples) са свързани с едноименната теорема - правоъгълен триъгълник имащ за дължина на страните a, b, c естествени числа.

Триъгълник, чийто дължини на страните се представят с питагорова тройка задължително е правоъгълен, но не всеки правоъгълен триъгълник има дължини на страни образуващи питагорова тройка. Пример за правоъгълен триъгълник, чийто страни не образуват питагорова тройка е равнобедрен правоъгълен триъгълник, т.к. корен квадратен от 2 е ирационално число (вж. числа на Пел). Графиката илюстрира плътността на числата в примитивните питагорови тройки със стойност под 100. Повтарящите се числа са: 5,12,13, 65 и 85.

Примитивни питагорови тройки е съвкупност от взаимно прости числа. За числа <100 има само 16 такива питагорови тройки. Първите са: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). Ако и трите числа в примитивна питагорова тройка се умножат с цяло число отново се образува също питагорова тройка, т.е. триъгълник с такива дължини на страните е също правоъгълен. Няколко особености за питагоровите тройки:

Само един от катетите a,b в питагоров триъгълник може да има дължина нечетно число, хипотенузата е нечетно число.

Само един от катетите a,b в питагоров триъгълник може да има дължина кратна на 3.

Само един от катетите a,b в питагоров триъгълник може да има дължина кратна на 4.

Само една от страните в питагоров триъгълник може да има дължина кратна на 5.

60 e nай-голямото естествено число делител на произведението a*b*c - от числа в питагорова тройка.

Не съществуват два питагорови триъгълника, в които двата катета на единия триъгълник са катет и хипотенуза на другия триъгълник.

Правоъгълен триъгълник с дължина и на трите страни рационални числа не може да има лице квадрат на рационално число.

Ако за правоъгълен триъгълник има еднакво лице с квадрат, то квадратът няма страна равна на дължината на страна от правоъгълния триъгълник.

Формулата на Евклид е фундаментална за генериране на питагорови тройки с определени свойства. Взема се произволна двойка естествени числа m и n за m > n > 0 . Една от формулите извеждащи питагорова тройка a,b,c е: a=m^2 - n^2; b=2*m*n, c = m^2+n^2. Ограничението на формулата е, че двойката m,n трябва да са взаимно прости и едновременно да са нечетни. Този недостатък може да бъде отстранен чрез добавяне на допълнителен параметър във варианта на евклидовата формула: a=m*n; b=(m*m-n*n)/2; c= b=(m*m+n*n)/2 само за m>n>0 и отново m,n взаимно прости и нечетни.

Съставете програма, чрез която се въвежда естествено число N от интервала [1..101] и се извеждат съответния брой числа от избраната редица с питагорови тройки.

Допълнителна информация за питагорови тройки може да намерите в: https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple; http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html, питагорови тройки числа. В разглежданите задачи се преплитат въпросите за намиране корени на конкретно диофантово уравнение и представяне на питагорова тройка.

Разгледайте предоставените примерни задачи. В задачата за числа на хипотенузата е направена съпоставка между питагорови тройки и примитивни питагорови тройки. Прочетете допълнителен материал за числа MSW, числа на Пел, корени на диофантово уравнение, решения на диофантово уравнение, числа на Markov, конгруентни числа.