числа и цифри

Числа и цифри се разглеждат като свързани понятия. Числото е абстрактно понятие за означаване на количество, броене, точност, качество.

Символите, с които се изписват числата се наричат цифри. Всяко число съдържа в записа си една или повече цифри.Използваната бройна система определя броя различни цифри за означаване на числа. Числата могат да бъдат с една или повече цифри - едноцифрени и многоцифрени числа.

С (римски) числа се означава брой и ред: 1-во, 2-ро ... I, II, III, IV…

Точността на измерване може да се представи с число имащо определен брой цифри.Качеството на химичен продукт се представя с число имащо определен брой цифри 9 след десетичната точка. Числото е винаги <100 и неговото допълнение отразява количеството примеси. Близки понятия са добив и рандеман.

В част от разглежданите числови редици плътността на числата бързо намалява и/или са открити фиксиран брой решения. Илюстрация на твърдението е следната задача: да се изведат всички числа, които могат да се представят като сума от съответните степени на цифрите си - всяка следваща цифра е повдигната на степен, съответстваща на позицията на цифрата. Пример: 89 = 8^1 + 9^2 = 9 + 81 = 89. Таблица илюстрира задачата за числата и техните цифри. Пропуснати са всички едноцифрени числа, както и последните две числа:2646798 и 12157692622039623539.

89 = 8^1 + 9^2

135 = 1^1 + 3^2 + 5^3

175 = 1^1 + 7^2 + 5^3

518 = 5^1 + 1^2 + 8^3

598 = 5^1 + 9^2 + 8^3

1306 = 1^1 + 3^2 + 0^3 + 6^4

1676 = 1^1 + 6^2 + 7^3 + 6^4

2427 = 2^1 + 4^2 + 2^3 + 7^4

Представените примерни задачи използват предимно 10-ична бройна система и арабски цифри.За алгоритъм определящ на вида цифри в число се ползва алгоритъм за целочислено деление - деление по модул.Същият е широко разпространен – от преобразуване на смесена дроб, преобразуване на число от една бройна система в друга до метод на най-големия остатък (метод на Хеър-Ниймайер) при пропорционална избирателна система. Същият алгоритъм се ползва и за определяне на четност - последната цифра в естествено число еднозначно го определя като четно или нечетно число - четни числа.

Представените задачи в частта числа и цифри могат условно да се групират:

А) задачи свързвани с групиране на числа по критерии свързани с цифри като: цифри на число в двоичен вид, самостоятелни числа, съставни числа, точни степени и др. Пример: естествени числа представени като сума от променяща се степен на цифрите си;

Б) задачи свързвани с търсене на определени цифри в числата като: четни и нечетни цифри, четни числа, нечетни числа, числа с повтарящи се цифри и др.

В) задачи свързвани с извеждане на отделните цифри в числото и последващо групиране като: последните цифри на произведение от N числа, числа от интервал с различни цифри, сума на цифри, произведение на цифри и др.

Пример: трансцедентно число, брой последователни цифри в него, както и брой цифри по вид.

закръглената стойност на Лудолфовото число до 32-тия знак π = 3.14159265358979323846264338327950 с последващо извеждане брой цифри по вид.

Г) задачи от областта на занимателна математика свързани с манипулация наредбата или вида цифри в числа като: обърни и добави; самостоятелни числа; само-описващи се числа; апокалиптични числа; равноцифрени числа; палиндромни числа, число до цифра и др. Пример: релация между числа с поредни цифри и едноцифрени числа:

0 * 9 + 1 = 1

1 * 9 + 2 = 11

12 * 9 + 3 = 111

123 * 9 + 4 = 1111

1234 * 9 + 5 = 11111

12345 * 9 + 6 = 111111

123456 * 9 + 7 = 1111111

1234567 * 9 + 8 = 11111111

Разгледайте други основни типове примерни задачи, използващи рекурсия и итерация, за чието решение се използват математическа индукция и числови редици.