спирала на Ulam

Спиралата на Ulam (Stanislaw Ulam 1963) е начин за онагледяване представянето на прости числа. Конструирането на спиралата се осъществява чрез квадратна мрежа. Избраната посока за развиване на спиралата е обратна на часовниковата стрелка, начално число 1, а първата стъпка е в посока Изток на компаса.

При представяне на числата от спирала на Ulam се използват половинките на средната колона (ординатна ос на спиралата)  и средния ред (aбсцисна ос на спиралата),  полудиагоналите и сортираните стойности  в диагоналите. Числа, от спирала на Ulam, разположени по двете ординатни оси са в следващите числови редици.

Числовата редица по посока Изток на компаса може да бъде представена чрез формулата:  a(n) = 4*n^2 - 3*n + 1 с начални елементи 1, 2, 11, 28, 53, 86...

Числовата редица по посока Север на компаса може да бъде представена чрез формулата:  a(n) = 4*n^2 - 9*n + 6, с начални елементи 1, 4, 15, 34, 61, 96...

Числовата редица по посока Запад на компаса може да бъде представена чрез формулата:  a(n) = 4*n^2 - 7*n + 4, с начални елементи 1, 6, 19, 40, 69, 106...

Числовата редица по посока Юг на компаса може да бъде представена чрез формулата:  a(n) = 4*n^2 + 3*n + 1, с начални елементи 1, 8, 23, 46, 77, 116...

Числа от спирала на Ulam, разположени по полудиагоналите са в следващите числови редици.

Числовата редица от посока Юг-Запад може да бъде представена чрез формулата: a(n) = 4*n^2 - 6*n + 3, с начални елементи 1, 7, 21, 43, 73, 111... Наблюдават се поява на прости числа с по-висока честота на срещане.

Числовата редица от посока Север-Изток може да бъде представена чрез формулата: a(n) = 4n^2 - 10*n + 7, с начални елементи 1, 3, 13, 31, 57, 91, 133...  тук простите числа са често срещани и този факт дава основание за връзката между прости числа и спирала на Ulam.

Числовата редица от посока Юг-Изток може да бъде представена чрез формулата: a(n+1) = 2*a(n) - a(n-1) + 8, с начални елементи 1, 9, 25, 49, 81, 121.. Това са квадратите на  нечетните естествени числа.

Числовата редица от посока Север-Запад може да бъде представена чрез формулите: a(n) = 4*n^2 + 1; a(n) = 3a(n-1) - 3a(n-2) + a(n-3), с начални елементи 1, 5, 17, 37, 65, 101...Присъствието на прости числа е отчетливо.

Числа от спирала на Ulam - възходящо наредените стойности от двата основни диагонала.

Числовата редица от диагонала Север-Запад Юг-Изток е представена в http://oeis.org/A080335 с формулите  a(n) = 2*a(n-1) - 2*a(n-3) + a(n-4) за  a(0)=1, a(1)=5, a(2)=9, a(3)=17, начални елементи са: 1, 5, 9, 17, 25, 37, 49, 65, 81...

Числовата редица от диагонала Север-Изток Юг-Запад е представена в http://oeis.org/A002061  с формулите a(n) = n^2 - n + 1;  a(n) = -(n-5)*a(n-1) + (n-2)*a(n-2);  a(n) = 3*a(n-1) - 3*a(n-2) + a(n-3) за n >= 3, начални елементи са: 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91...

Съществува и квадратна спирала, подобна на спиралата на Ulam. Развиването на квадратната спирала е по посока обратна на часовниковата стрелка и първа стъпка в посока Юг на компаса.

Съставете програма, чрез която се въвежда естествено число N от интервала [1..31] и се извеждат посочения брой елементи от редица представяща част от спирала на Ulam. Програмата да използва две аналогични функции - рекурсия и итерация.

Подробно описание за спирала на Ulam може да намерите и на следните адреси:  https://en.wikipedia.org/wiki/Ulam_spiral; http://mathworld.wolfram.com/PrimeSpiral.html. Предходната графика илюстрира положението на простите числа по диагоналите на  спиралата.

Разгледайте други основни типове примерни задачи, за чието решение се използват фигурни числа и фигури с числа. Прочетете допълнителен материал за: числа на Ulam, суми на Ulam, триъгълник на Ulam, числови редици с прости числа, спирала на Питагор, спирала на Архимед, спирала на Фибоначи, спирала на Padovan, спирала на Ферма, хиперболична спирала, 3-ъгълна спирала, 6-ъгълна спирала, 8-ъгълна спирала.