звезден многоъгълник

За многоъгълник, казваме че е изпъкнал, ако всички негови вътрешни ъгли са по-малки от 180 градуса. Такъв многоъгълник представлява сечение на няколко полуравнини - всяка негова страна дели равнината на две части, при което останалите му върхове се намират само в едната полуравнина.

Правилният многоъгълник е изпъкнал. В следващите редове се подразбира, че използвания многоъгълник е правилен..

Звезден многоъгълник - половината от неговите върхове са върховете на изпъкнал многоъгълник, но тези върхове се свързват през определена стъпка. Този процес продължава до достигане на началния връх. Избраната посока не е от значение, но тя не се променя.

Това определения дава няколко следствия:

- броя върхове на звездния многоъгълник е винаги четен - като сума от върхове на изпъкналия многоъгълник и пресечните точки между отсечките образуващи ръбовете на звездата;

- вида на звездния многоъгълник зависи както от броя върхове (на изпъкналия многоъгълник), така и от използваната стъпка на свързване;

- един и същ брой върхове и две различни стъпки могат да формират два звездни многоъгълника изглеждащи еднакво.

От един правилен многоъгълник (вписан в окръжност с даден радиус) могат да се постоят няколко различни звездни многоъгълници с двойно повече върхове и със същия радиус на описаната окръжност. Ако избраната стъпка е точно равна на половината от броя на върховете се получава (изродена) звезда - всички страни имат общ връх. Това твърдение лесно може да се провери чрез построяване на (не)правилен 6-ъгълник (със дължина на страната равна на радиуса на описаната окръжност) и оттам построяване на съответния звезден многоъгълник.

Триъгълникът е най-простият многоъгълник (полигон), който може да съществува в Евклидовата равнина. Чрез триъгълник може да се запълни равнина - като мозайка. Използваните триъгълници не са непременно равностранни.

Четириъгълникът е най-простият многоъгълник, който може да се самопресече; най-простият многоъгълник, който може да бъде вдлъбнат (виж многоъгълник стрела); най-простият многоъгълник, който може да бъде нецикличен - няма описана окръжност. Чрез четириъгълници може да се осъществи паркетиране - да се запълни равнина идеално, като мозайка. Използваните четириъгълници в този процес не са непременно квадрати.

Петоъгълникът е многоъгълника с най-малкия брой върхове, който може да бъде представен като звезда - пентаграм (pentagram, star pentagon).

На чертежът е представен пентаграм (5-2) със стъпка 2.

Импресивни снимки и чертежи можете да се разгледат в Интернет пространството, използвайки следните ключови думи и примерни адреси:

мозайка на Пенроуз (penrose Tilings) Roger Penrose

https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling

http://mathworld.wolfram.com/PenroseTiles.html

http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-penrose

житни кръгове (Bert Janssen) -

http://www.bertjanssen.nl/cropcircles/photos.html

квазикристал (Quasicrystal) - Даниел Шехтман (Shechtman)

https://en.wikipedia.org/wiki/Quasicrystal

Хексаграм (Давидова звезда, шестолъчна звезда, магьосническа звезда). Може да се разглежда като наслагване на 2 равностранни триъгълника, като вписан правилен 6-ъгълник с 6 еднакви триъгълника с основа страна на 6-ъгълника.

Този звезден многоъгълник е изобразен на знамето на съвременната държава Израел.

Печатът на цар Соломон представлява вписан в окръжност хексаграм.

На чертежът е представен хексаграм (6-2) със стъпка 2.

Изображението на хексаграм, както и на пентаграм се използват в ред окултни практики.

Осмоъгълна звезда (октаграм Octagram) също е използвана като знак: древния символ за Слънцето; Руб ал-Хизб е мюсюлмански символ, представляващ два еднакви квадрата с общ център, завъртени на 45 градуса един спрямо друг; тя е и често срещан елемент в орнаментите на чувашката шевица, изразяваща красота и съвършенство, елбетица - слънчевият български двоен кръст.

Друг вид осмоъгълна звезда (аусеклис) е представена в https://ru.wikipedia.org/wiki/Аусеклис. 8-точковата роза на компаса също може да се разглежда като вид осмоъгълна звезда. Най-често срещаните изображения на Витлеемската звезда са също вид осмоъгълна звезда.

На чертежът е представен осмоъгълна звезда (8-3) със стъпка 3.

Следващите два звездни многоъгълника не са в тази последователност.

Една от първите разработки на Карл Гаус се свързва със 17-ъгълник. Йохан Ерхингер, през 1825 г., доказва, че може да се построи правилен 17-ъгълник само с линия и пергел.

На чертежът е представена 17-ъгълна звезда (17-7) със стъпка 7.

При нарастване броя на върховете страните на звездния многоъгълник се пресичат с повече от 1 страна и така се формират допълнителни пресечни точки - върхове на нови фигури.

На чертежът е представена 100-ъгълна звезда (100-47) със стъпка 47.

В животинското царство, формата на иглокожите (Echinodermata) наподобява звезда, на снимката (в началото на страницата) е даден представител на растителното царство: решетка (Carlina acanthifolia https://bg.wikipedia.org/wiki/Решетка_(растение)).