нечетни числа

Нечетни числа са цели числа, имащи за своя последна цифра нечетно число 1, 3, 5, 7 или 9 - това са и едноцифрените  нечетни числа.

Числовата редица може да бъде представена с формулата K = 2*n + 1 за n цяло число.

Свойства на нечетните числа:

сума от нечетен брой  нечетни числа е също нечетно число;

ако събираемите са: произволен брой четни числа и нечетен брой нечетни числа,  то крайната сума е нечетно число;

произведение от две и повече нечетни числа е също нечетно число;

всяко нечетно естествено число представено в 2-ична бройна система има последна цифра 1;

Примери с нечетни числа в числови редици:

втора степен на естествено число може да се представи като сума от последователните нечетни числа  1+3 = 2²; 7+9 = 4²; 17+19 = 6²; 31+33 = 8²; 49+51 = 10²; 71+73 = 12²

нечетни числа с нечетни цифри 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 31....

цели числа с нечетна сума на цифри 1, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 19, 21..

нечетни числа с нечетна сума на цифрите:  1, 3, 5, 7, 9, 21, 23, 25, 27, ....

нечетни числа са двойката: сума от три последователни естествени числа от типа: четно:нечетно:четно, както и тяхната средна стойност - пример 14-15-16 сума 45, средна стойност 15;

палиндромни числа с начална нечетна цифра;

с изключение на първото (2 е единственото четно просто число) всички останали прости числа са нечетни числа;

всяка двойка съседни прости  (без 2 и 3 ) с разлика 2 са две нечетни числа - такива са 3-5, 5-7, 11-13 ...

редицата погледни и кажи съдържа само нечетни числа. Тя е вариант на само-генерираща се редица с начален елемент 1. Всеки следващ елемент описва вида и броя последователни еднакви цифри в предходното число: 

I) 1 - начало

II) 11 - 1 1-ца

III) 21 - 2 1-ци

IV) 1211 - 1 2-ка, 1 1-ца

....

Примери за нечетни числа в бита/игрите:

брой дни в седмицата - 7;

брой крака (3, 5 или 7) на стабилни столове;

брой пръсти на (човешки) крайник - 5;

броят основни цветове на дъгата - 7;

броят основни тонове в нотната стълбица - 7

централни числа на Delannoy - тези числа описват броя на възможните пътища от югозападния ъгъл (0, 0) на правоъгълна решетка до североизточния ъгъл ( m , n ), като се използват само единични стъпки на север, североизток или изток; 

номерация на постройки  по условно избраната дясна страна на улицата;

състав на отбор по футбол - 11

състав на отбор по крикет - 11;

състав на отбор по хандбал - 7;

съдийско жури - нечетен брой;

нечетно число вокално-инструментални изпълнители трио - 3; квинтет - 5;

кон на шахматна дъска - ако стои на позиция с четна сума номер на ред и колона, то шахматния кон има възможен ход  само на позиция с нечетна сума номер на ред и колона.

Примерни условия на задачи свързани с нечетни числа:

извеждане на всички нечетни числа с нечетни цифри от предварително дефиниран интервал;

извеждане на всички нечетни числа с нечетна сума на цифри от предварително дефиниран интервал;

извеждане на всички нечетни числа с нечетна първа и последна цифри от предварително дефиниран интервал;

Числова редица с формули за n-тия член: a(n) = n*((n+3)^2 + 2)/6 + (n+2)*(1+(-1)^n)/4 - 6, за n >= 2; рекурентна a(n) = 2*a(n-1) + a(n-2) - 4*a(n-3) + a(n-4) + 2*a(n-5) - a(n-6). Начални елементи: 5, 13, 31, 49, 81, 113, 163, 213...

Числова редица с формули за n-тия член: a(n) = (n^3+6*n^2+14*n-18)/6 за n четно, a(n) = (n^3+6*n^2+11*n-24)/6 за n нечетно; рекурентна a(n) = 2*a(n-1)+a(n-2)-4*a(n-3)+a(n-4)+2*a(n-5)-a(n-6) за n>7.  Начални елементи: 7, 15, 33, 51, 83, 115, ...

Числова редица с формули за n-тия член: a(n) = (2*n^3 + 12*n^2 + 28*n - 12)/12 за n>2 и  четно, a(n) = (2*n^3 + 12*n^2 + 22*n - 24)/12 за n>2 и четно; рекурентна a(n) = 2*a(n-1) + a(n-2) - 4*a(n-3) + a(n-4) + 2*a(n-5) - a(n-6) за n>8. Начални елементи: 1, 11, 17, 35, 53, 85, ...

Подобно описание за нечетни числа може да намерите и на следните адреси: https://mathworld.wolfram.com/OddNumber.html, https://oeis.org.

Съставете програма, чрез която се въвежда естествено число N и се извеждат посочения брой нечетни числа. Програмата да използва две подобни функции - рекурсия и итерация. 

Разгледайте други основни типове примерни задачи, за чието решение се използват числови редици, числа и цифри. Потърсете допълнителен материал за: четни числа, цифри в число, формули в числова редица, тегло на Hamming, цифров корен, сума на цифри, точни степени.