фигурни числа

Най-старото определение за фигурни числа е дадено от последователите на Питагор. Те са ги свързвали с различни геометрични фигури. По тяхната  класификация фигурните числа се разпределят в няколко вида:

линейни числа - не могат да се представят като произведение на множители. Това е множеството на простите числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199...

плоски числа - могат да се представят като произведение на два множителя. Такива са: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70... Частен случай са правоъгълните числа - произведение на две съседни естествени числа.

обемни числа - могат да се представят като произведение на три и повече множители. Такива са: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 66, 68, 70, 72, 75, 76, 78, 80, 81, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 116, 117, 120, 124, 125, 126, 128, 130, 132...

многоъгълни числа -  в страницата са разгледани техни разновидности центрирани и пирамидални. През вековете силен интерес към тази група числа са проявявали много математици. Може би най-известната теорема за многоъгълните числа е тази на Ферма, наречена още златна теорема: всяко естествено число е или триъгълно или сума от 2 или 3 триъгълни числа;  всяко естествено число е или квадратно или сума от 2,3 или 4 квадратни числа - това е и теоремата на Лагранж за сума на 4 квадрата;  всяко естествено число е или 5-ъгълно или сума на 2 до 5 петоъгълни числа и т.н.

Една от причините за това внимание към многоъгълните числа е чрез тях могат да се представят всички пирамидални числа и центрирани пирамидални числа. Съвременниците на Диофант са познавали формулата за изчисляване поредното многоъгълно число:

 a(n) = n*[2 + (n-1)*(k-2)]/2,

където n е преден номер на числото, а k - броя страни на многоъгълника.

В използваната приложна програма за изчисляване на многоъгълни числа (страницата от сайта) формулата е: a(n) = ((a-2)*n + 4-a)*n/2;

Каква е разликата? Ако се съди по резултата от изчисляване разликата е само в поредния номер при изброяването.

И двете формули са изведени чрез математическа индукция, с едно уточнение - в онези времена древните не са ползвали това понятие.

Ако използваме друго определение за фигурни числа - като общо название за числа свързани с брой върхове на различни геометрични фигури. Това вече включва не само изпъкнали многоъгълници, а и различни видове звезден многоъгълник - тип звезди (star polygon, Stella octangula), а и не само 2-D фигури и 3-D тела.

В литературата се използват няколко термина: simplex (en), polytop –(de) с различен произход и съдържание, за представяне на фигури и фигурни числа (simplex numbers, polytope numbers) в n-мерно пространство.

Симплекс е обобщено понятие за най-простата геометрична фигура във n-мерното пространство. Геометрически представлява множество от n+1 точки, свързани по между си всяка със всяка. Например 0-симплекс е точка; 1-симплекс е отсечка; 2-симплекс е триъгълник; 3-симплекс е тетраедър (триъгълна пирамида); 4-симплекс е петоклетъчник, пентахорон (геометрична фигура в четиримерното пространство ограничена от пет четиристена всеки от които се допира до другите с една от стените си); 5-симплекс е шестопетичник. Принципно n-симплекс може да се състави от (n-1)-симплекс чрез добавяне на нова точка по n-тото измерение и свързването ѝ със всички останали върхове на (n-1)-симплекса.

На тази основа е възможно дефиниране на 4-мерен тетраедър по следния начин: фигура в 4-мерното пространство, съставена от 5 точки (върха) и излизащите от тях 5 равни отсечки, като всяка от стените е тетраедър.

Следващите задачи включват изчисляване на определени редици фигурни числа, които не са непременно свързани с 2-симплекс или 3-симплекс. Използваната рекурентна зависимост е: вид прогресия; вид числа на Фибоначи или вид полином. Основно е ползван сайтът www.oeis.org. Условията на задачите си приличат, разликата е само във вида на използваната рекурентна формула (основната част на алгоритъма), а оттам и на изведената числова редица. Тя може да бъде изведена чрез правилно прилагане метода на математическата индукция.

Възприемане на изобразявано многомерно тяло в равнината изисква и пространствено виждане. Прочетете допълнителен материал за звездни многоъгълници, петриеви многоъгълници, многостен на Кеплер-Поансо - правилно еднообразно не изпъкнало тяло, каталанови тела, архимедови тела, платонови тела.

Разгледайте други основни типове примерни задачи, използващи рекурсия и итерация, за чието решение се използват математическа индукция, фигури с числа и числови редици.