per il 7/11

Compito in classe.  porta 3 fogli protocollo e materiale di cancelleria, compresi righello, compasso e goniometro.

Sarà permesso l'uso di calcolatrice elementare (senza radici quadrate) purché personale (obbligatoria).

Nel piano cartesiano Oxy sono dati la circonferenza Γ di equazione

x² + y² − 12x − 8y + 36 = 0

e i punti A(0, 0) e B(14, 0).

a) Determina il centro I e il raggio r di Γ.

b) Verifica che A e B sono esterni a Γ.

c) Verifica che l’asse x è tangente a Γ e trova il punto di tangenza T₁.

a) Da A e da B conduci le altre due tangenti a Γ (oltre all’asse x) e scrivine le equazioni.

b) Sia C il punto di intersezione di queste due tangenti. Trova le sue coordinate.

Il triangolo ABC è quindi circoscritto a Γ.

Siano α, β, γ gli angoli interni del triangolo ABC in A, B, C.

a) Scrivi le componenti dei vettori AB, AC, BC e calcola i loro moduli (cioè le lunghezze dei lati).

b) Con il teorema di Carnot calcola cos α, cos β, cos γ.

c) Ricalcola gli stessi coseni con il prodotto scalare dei vettori opportuni e confronta i risultati.

d) Il triangolo è acutangolo, rettangolo o ottusangolo? Giustifica la risposta usando solo i coseni.

e) Ordina α, β, γ dal maggiore al minore senza calcolare gli angoli, ricordando che il coseno è decrescente per angoli tra 0 e π. Confronta l’ordine ottenuto con quello dei lati opposti.

a) Trova i punti di tangenza T₂ (sul lato AC) e T₃ (sul lato BC).

b) Scrivi i vettori IT₁, IT₂, IT₃ e verifica che hanno tutti modulo uguale al raggio.

c) Calcola con il prodotto scalare cos(T₁ÎT₂), cos(T₁ÎT₃), cos(T₂ÎT₃).

d) Confronta questi valori con cos α, cos β, cos γ. Che relazione osservi? Spiegala geometricamente, considerando il quadrilatero AT₁IT₂ e ricordando che cos(π − x) = −cos x.

e) Applica il teorema di Carnot al triangolo T₁IT₂ per calcolare T₁T₂². Verifica il risultato con la formula della distanza tra due punti.

a) Scrivi l’equazione della circonferenza circoscritta ad ABC e determina il suo centro O e il suo raggio R.

b) Calcola cos(AÔB) con il prodotto scalare.

c) Verifica che cos(AÔB) = 2cos²γ − 1. Perché vale questa relazione? (Suggerimento: angolo al centro e angolo alla circonferenza.)