Diagrammi Orari

Post date: Nov 13, 2016 8:45:17 AM

Si chiama diagramma orario il diagramma cartesiano in cui il tempo è riportato sulle ascisse e la distanza sulle ordinate.

Qui la correzione del test svolto in classe:

Risultati strepitosi per questo semplice test sulla capacità di lettura del diagramma spazio-tempo (altrimenti detto diagramma orario) e sull'associazione velocità-pendenza, anche quando la curva rappresentata non è una retta.

Studiate a fondo questa correzione perché ci servirà in futuro!

L'errore più comune è stato di confondere il diagramma con una vista dall'alto della traiettoria. Le curve nella terza figura ad esempio non descrivono uno zigzag, ma ripetute frenate e accelerate!

Chi non ha giustificato le risposte è stato penalizzato, perché lo scopo di questi test è di rilevare i problemi di comprensione e la proprietà di linguaggio, non di nasconderli.

Gli abbinamenti corretti erano:

Questo dovrebbe essere chiaro, ma un ripassino non fa male (qualcuno ne ha avuto bisogno).

Supponiamo di partire da Roma alla velocità di 100 km/h, e di mantenere questa velocità per tutto il tragitto. Alla partenza siamo a distanza 0 da Roma, dopo 1 ora saremo a 100 km, dopo 2 ore saremo a 200 km e così via. Riporta i punti sul diagramma spazio-tempo, ti accorgerai che sono allineati! Prova anche a vedere dove ci troviamo dopo mezz'ora, dopo un quarto d'ora e dopo 10 min.

Ti è chiaro che la traduzione della frase "procedo a velocità costante" nel linguaggio dei diagrammi spazio-tempo è "la traiettoria oraria è una retta"?

Come cambierebbe il tuo disegno se alla partenza fossimo già a 50 km da Roma?

Riguarda l'esperienza dello sciatore che cade.

5 Velocità costante

6 Partenza al semaforo

All'inizio la pendenza della curva che descrive il moto nel diagramma spazio-tempo è zero. Come abbiamo visto, la traduzione di questa frase è "all'inizio la velocità è nulla". In effetti, il tempo passa ma la macchina non si muove: è proprio ferma.

Poi la pendenza aumenta, e continua sempre ad aumentare. La traduzione di questa frase è "la velocità aumenta e continua ad aumentare", oppure "la macchina accelera per tutto il tempo".

Solo alla fine, possiamo intuire che la pendenza smette di aumentare, ovvero che la velocità massima è stata raggiunta e la macchina procede senza più accelerare.

La distanza da noi (punto di riferimento) prima decresce, segno che l'automobile viene verso di noi, poi cresce, segno che l'auto si sta allontanando.

Il punto dove la pendenza della curva è zero, corrisponde alla macchina che non si avvicina nè si allontana, e che quindi ha velocità nulla.

Il diagramma spazio-tempo ci permette di tradurre il concetto di velocità in un linguaggio matematico!

1 Inversione di marcia

L'auto è costretta a fermarsi più volte. I tratti in cui è ferma sono quelli in cui la curva è orizzontale.

Come abbiamo già osservato, se passa il tempo e la distanza non aumenta né diminuisce, la velocità è zero. Possiamo descrivere la stessa cosa nel linguaggio del diagramma spazio-tempo dicendo che la curva che descrive il moto in quell'istante è un segmentino orizzontale.

Per adesso è una semplice traduzione da un linguaggio ad un altro, ma tra poco vedremo che il linguaggio matematico ci permetterà di fare un salto di qualità e di lavorare con facilità sui problemi che incontreremo.

3 Traffico urbano

Il disegno non è molto chiaro, bisogna ammetterlo. Quasi tutti hanno risposto per esclusione, oppure osservando che la macchina frena e riaccelera senza fermarsi.

Se osserviamo bene, c'è un'altra caratteristica: la pendenza della curva (e quindi la velocità) si ripete periodicamente (per quattro volte), perché la macchina gira su un circuito e ogni volta che si trova in un dato punto ha la medesima velocità.

4 Formula 1

Ci sono istanti in cui l'auto è in tre posti diversi contemporaneamente!

In SC2B la risposta è stata: "non si può tornare indietro nel tempo", che è un modo più suggestivo di dire la stessa cosa (dando per scontato che la traiettoria oraria sia una curva continua nel diagramma spazio-tempo).

Quale motivazione vi sembra più comprensibile?

2 Assurdo

Abbiamo abbinato due concetti:

1) velocità

2) pendenza della curva oraria

Morale della favola

In M2A, dove conosciamo già un po' di geometria analitica, abbiamo abbinato un terzo concetto, quello di coefficiente angolare della "retta che meglio approssima la curva".

Sono linguaggi alternativi per esprimere lo stesso concetto, ognuno con vantaggi e svantaggi.

Potremmo affiancarne un quarto, quello algebrico. In effetti, questa è la scelta che fanno quasi tutti i libri di testo, perché è più potente per fare i calcoli e perché storicamente è il linguaggio che si è evoluto apposta per trattare i problemi fisici.

Allora, perché invece di usare questo linguaggio "naturale", noi preferiamo quello dei diagrammi?

La ragione è esattamente contenuta in questo test che avete appena fatto!

Generalizzare il concetto di pendenza ad una curva che non sia una retta, è facile nel linguaggio dei diagrammi mentre è molto difficile nel linguaggio algebrico-analitico. Solo nel quinto anno del liceo scientifico e di pochi istituti tecnici il linguaggio algebrico diventa sufficiente a trattare con un minimo di precisione i concetti che stiamo discutendo.Ci sono voluti mille anni perché l'algebra si evolvesse al punto di definire cos'è la velocità, dando vita alla branca della matematica che si chiama analisi. Noi prendiamo una scorciatoia! Se ci pensiamo, siamo abituati a valutare la pendenza di una salita, e non ci interessa gran che se la salita ha pendenza uniforme oppure no. Tu hai mai visto uno strumento per misurare la pendenza?Magari sul cruscotto di un fuoristrada? In un simulatore di volo? Prova ad ipotizzare come sono fatti.Se volessimo essere ultraprecisi e definire esattamente i termini matematici che usiamo, come farebbe un fisico, dovremmo procedere così:

1. Definire cos'è la pendenza dell'ipotenusa (il lato più lungo, opposto all'angolo retto) di un triangolo rettangolo (qualsiasi): il rapporto tra le lunghezze dei cateti verticale e orizzontale.
2. Definire cos'è la pendenza di una retta (dopo aver dimostrato che non dipende dal triangolo rettangolo che scegliamo purché abbia un cateto orizzontale e uno verticale.
3. Dire come si approssima, in un dato punto, una curva con una retta (non è diverso dall'appoggiare un'asse sul punto della discesa in esame).
4. Definire la pendenza della curva in un punto come la pendenza della retta che abbiamo appena (cioè misurare la pendenza dell'asse che abbiamo appoggiato sulla discesa).

Non è difficile, e probabilmente è esattamente quello che avreste fatto se vi avessi dato il compito pratico di misurare la pendenza di una discesa, com metro, livella e filo a piombo. Peccato non avere una bella discesa a poratata di mano!

A proposito, come funziona il misuratore di pendenza sul cruscotto del tuo fuoristrada? (Se non possiedi un fuoristrada, immagina di averne uno)!

Attento solo a non fare confusione tra pendenza e angolo!

Il legame logico tra queste due quantità è strettissimo, ma la loro relazione in termini matematici è terribilmente non banale. C'è un'intero settore della matematica, la trigonometria, che si occupa di questa relazione!

Due sono gli slogan che devono rimanerci impressi dopo questa discussione:

velocità = pendenza
pendenza = altezza/base