Leggi di Ohm

Post date: Feb 25, 2021 6:47:54 AM

Riassunto della lezione precedente:

Vogliamo capire cosa succede se applichiamo una differenza di potenziale V ai capi di un conduttore, ad esempio collegando i capi di una pila ad un filo elettrico di lunghezza l.

Siccome il campo elettrico E tra i due capi del conduttore è costante e uguale a -V/l, se gli elettroni fossero liberi di muoversi senza trovare ostacoli, dovrebbero accelerare in maniera costante:

dalla legge di Newton, detta me = 9.1·10-31 kg la massa dell'elettrone e=1.6·10-19 C e la sua carica,

a =  F/me = -Ee/me = Ve/(l me)

Ma questo non è quello che si osserva sperimentalmente.  L'interpretazione più ovvia è che gli elettroni non sono poi così liberi di accelerare.

A causa dell'agitazione termica, gli elettroni si muovono in maniera disordinata a grandissima velocità, urtando gli atomi del reticolo e gli altri elettroni. L'effetto accelerante del campo elettrico riesce a farsi sentire solo nel breve periodo che intercorre tra un urto e l'altro.

Facciamo il caso specifico del rame alla temperatura di 300 K:

L'elettrone accelera con accelerazione a soltanto per un tempo τ; dopo di che urta gli altri elettroni o gli atomi del reticolo e deve ricominciare.  La velocità che riesce a raggiungere in questo modo nella direzione del campo elettrico è detta velocità di deriva (drift) 

vd = a  τ  = Veτ/(l me) 

Se abbiamo un filo lungo 10 m al quale applichiamo una differenza di potenziale di 10 V, otteniamo

vd = Veτ/(l me) = (10· 1.6·10-19 ·3·10-14)/(10 ·9.1·10-31) = 5·10-3 m/s

cioè gli elettroni avanzano molto lentamente in direzione del campo!

Si muovono ad una velocità complessiva 

⃗vT + ⃗vd ,

dove ⃗vT è dell'ordine dei 1000 km/s ma è diretta casualmente; la media tra tutte le  ⃗vT  dei vari elettroni è perciò nulla.  Invece la  ⃗vd  è nella stessa direzione per tutti gli elettroni e si traduce in uno spostamento netto di carica nella direzione del campo.

Siccome gli elettroni sono tantissimi, osserviamo un fenomeno macroscopico di spostamento di carica che chiamiamo corrente elettrica.

L'intensità di corrente

Consideriamo un filo conduttore di lunghezza l e sezione S.  

Definizione:  Chiamiamo intensità di corrente elettrica la quantità di carica che attraversa la superficie S nell'unità di tempo, cioè il rapporto tra la quantità di carica ΔQ che attraversa S nell'intervallo di tempo Δt e il tempo Δt che impiega:

i = ΔQ/Δt

Se gli elettroni si muovono nella direzione del campo a velocità vd,  gli elettroni che stavano nel cilindro di superficie di base  S e lunghezza vd Δt sono quelli che attraverseranno la superficie nel tempo Δt.  Il volume di questo cilindro è  S vd Δt .

Per ottenere il numero di elettroni che sono in questo cilindro devo moltiplicare per il numero n di elettroni liberi per unità di volume;  per ottenere la carica contenuta in questo cilindro devo ancora moltiplicare per la carica e di un singolo elettrone.  Cioè

ΔQ = S vd Δt n e

Dividendo per Δt  otteniamo l'intensità di corrente elettrica

i = S vd n e 

Sostituendo vd = Veτ/(l me) e riordinando,

i = e2nτ/me S/l V 

La quantità e2nτ/me dipende dal tipo di materiale e dalla sua temperatura, prende il nome di conducibilità e viene indicata con σ.  Il suo inverso ρ = me/e2nτ  viene chiamato resistività.

Invertendo la formula precedente, si ottiene 

V = l/S ρ  i

Il prodotto  R = l/S ρ  prende il nome di resistenza (seconda legge di Ohm) e possiamo scrivere 

(legge di Ohm)