Conservazione dell'energia

Post date: Oct 26, 2016 12:30:29 PM

Dialogo sulla conservazione dell'energia

Qui ho tre palline: una da golf, una di gomma del tipo “rimbalzante” e una da biliardino. Se le lascio cadere sul pavimento tutte dalla medesima altezza, quale rimbalzerà più in alto?

La palla di gomma?

Proviamo. In effetti tutte e tre le palline rimbalzano piuttosto bene, ma la vincitrice è quella da biliardino.

Ora prendo una pallina di plastilina. A che altezza rimbalzerà?

Ci prende in giro? Non rimbalzerà affatto! Si spiaccicherà sul pavimento.

Giusto. Quindi succede qualcosa di diverso nell'urto con il pavimento. Che cosa?

Si spiaccica!

Cioè?

Cambia forma schiacciandosi sul pavimento.

In realtà anche le altre tre palle si schiacciano durante l'urto, ma hanno la capacità di riprendere la forma originale.

Allora è in questo modo che rimbalzano! Riprendendo la forma che avevano prima dell'urto, spingono sul pavimento fino a saltare.

Esatto! Ma anche questa volta l'attrito si mette di mezzo. Le palline si scaldano e il rimbalzo è meno alto di quello che dovrebbe.

Allora la pallina di gomma rimbalza meno di quella da golf e di quella da biliardino perché si deforma di più e quindi si scalda maggiormente a causa degli attriti.

E se non ci fossero gli attriti, dove arriverebbe la pallina?

Tornerebbe indietro esattamente nel punto da cui l'abbiamo lasciata cadere.

È quello che penso anch'io.

Così abbiamo due leggi di conservazione: il pendolo torna al punto da cui viene lanciato e anche la palla rimbalzante torna al punto da cui viene lasciata.

È un'unica legge o sono due fenomeni diversi?

Hai colto il punto: è il momento di buttarci e fare una congettura: ipotizziamo che si tratti della stessa legge di conservazione. Diamo anche un nome alla quantità che si conserva: la chiamiamo energia meccanica.

Come argomento a supporto, vediamo un video:

Un pendolo e una pallina vengono lasciati a velocità zero dalla medesima altezza. Una “speed trap” ci permette di misurare le velocità dei due oggetti quando sono scesi ad una quota più bassa. Scopriamo che le due velocità, pur essendo dirette in maniera differente, hanno lo stesso valore numerico.

È come se la differenza di quota fosse stata convertita in velocità.

Altri modelli conservativi

Per fare un paragone, immaginiamo di poter convertire senza commissioni i dollari in barili di petrolio e viceversa. Diciamo che i dollari rappresentano la quota.

Fermo! Che cos'è un barile?

Il barile è una misura di volume e corrisponde ad una certa quantità di metri cubi.

E, nella nostra metafora, il barile rappresenta la velocità?

Meglio assegnare il ruolo della velocità al lato del cubo che contiene il petrolio.

Ho capito. È come nell'esempio del distributore di benzina. Il petrolio che mi danno è direttamente proporzionale ai soldi che pago.

Se s è la quantità di dollari e l è il lato del cubo che contiene il petrolio, abbiamo una relazione del tipo

s = c l³

Dove la costante c è il prezzo di un metro cubo di petrolio.

Giusto. Ora, se non ci sono commissioni nel cambio e se il prezzo rimane costante, non importa se converto i dollari in petrolio, la mia ricchezza totale rimane sempre la stessa.

Questa è la legge di conservazione della ricchezza!

In formule, se R è la mia ricchezza, S la quantità totale dei miei soldi e L il lato del cubo che contiene tutto il mio petrolio, ho

R ≡ S + cL³.

Allora, se ho capito la metafora... L'energia, che si conserva nel pendolo e nella caduta dei gravi, è la somma della quota e della velocità?

Quasi: di una parte che dipende dalla quota, che viene chiamata energia potenziale e di una che dipende dalla velocità, e viene chiamata energia cinetica.

L'energia potenziale in effetti è proporzionale alla quota, perché convertiamo in energia cinetica una differenza di quota.

Questa non l'ho capita.

Se compri 100 dollari di petrolio, al venditore non interessa se possiedi un milione o un miliardo di dollari. Nello stesso modo, quando fai l'esperimento di conversione dell'energia potenziale in energia cinetica, non importa de realizzi l'esperimento qui o al piano di sopra. È la differenza di quota ad essere convertita, proprio come la differenza di contante nel portafogli.

Tradotto in termini matematici, questo significa che l'energia potenziale deve essere proporzionale alla quota, così come la ricchezza in contanti deve essere proporzionale al valore in dollari, anche se io in banca ho gli euro.

Energia nei gravi

Quindi l'energia potenziale è uguale alla quota?

Si è scelto di prenderla proporzionale alla quota, non uguale. In questo modo è più facile generalizzare la conservazione dell'energia a forze diverse dalla forza peso.

L'energia potenziale della forza peso ufficialmente è

V:= mgh,

dove h è la quota e le costanti m e g sono rispettivamente la massa e l'accelerazione di gravità.

E per quanto riguarda l'energia cinetica?

La nostra metafora non ci dice niente, ma per fortuna possiamo usare la legge sperimentale che avevamo scoperto con la legge della palla che cade.

Il moto uniformemente accelerato!

Esatto. Ti ricordi come esprimere la legge?

Sappiamo che la velocità cresce uniformemente nel tempo, come

v = - g t,

e abbiamo anche scoperto che questa legge corrisponde alla legge oraria

h=h₀ - 1/2 g t².

Perfetto. Ora eleviamo al quadrato la prima; diventa

v² = g² t².

Moltiplichiamo la seconda per g . Diventa

gh = gh₀ - 1/2 g² t² .

Sostituendo la prima nella seconda, otteniamo

gh = gh₀ - 1/2 v² ,

che, portando 1/2 v² a primo membro, possiamo riscrivere come

1/2 v² + gh ≡ costante ,

perché h₀ è la quota da cui ho lasciato cadere il mio peso e, come g , non cambia durante la caduta.

Abbiamo ottenuto una legge di conservazione!

Che è quasi nella forma che vogliamo. Per convenzione, si definisce l'energia in maniera che un corpo di massa doppia abbia il doppio dell'energia. Più precisamente, l'energia meccanica di un corpo sottoposto alla forza peso è definita come

E := 1/2 m v² + mgh .

Il termine T := 1/2 m v² è detto "energia cinetica", mentre il termine U := mgh, come abbiamo già avuto modo di dire, "energia potenziale".

E adesso possiamo esprimere la nostra legge come

l'energia meccanica si conserva.

E così siamo arrivati alla fine. Ma voglio prima farti notare una cosa: ti sei accorta che l'energia potenziale è uguale al lavoro che serve a portare il peso fino alla quota?

Che sia un fatto generale?