Onde progressive, regressive e stazionarie.

Post date: Nov 12, 2016 5:45:20 AM

Onde che viaggiano a velocità costante

Supponiamo che al tempo t=0, un'onda abbia un profilo che corrisponde al grafico di una funzione

y = f(x)

e di voler far viaggiare quest'onda a velocità v nel verso delle x positive.

Come possiamo scrivere l'equazione della curva al tempo t?

In altre parole, quale sarà il nuovo valore della y corrispondente al punto x?

Chiamiamo  ft(x)  questo valore, e cerchiamo di capire come è legato alla funzione f.

Siccome tutto il sistema è in evoluzione, il punto x al tempo 0 era in un'altra posizione.

Se x si è mosso a velocità costante v, era in una posizione 

x0 = x - v t

e la sua y corrispondeva a  y = f (x0) 

Ora, noi vogliamo proprio che  ft(x)  al tempo t sia uguale a  f (x0)  e quindi che

 ft(x)  =  f (x0) 

Sostituendo,

 ft(x) = f(x - v t)

Chi fosse interessato a rifare il foglio GeoGebra (facoltativo), trova le istruzioni nel video qui sotto.

Riflessione

Se modifichiamo il sistema fisico facendo in modo che l'onda non possa andare oltre un certo punto, in generale si forma un'onda riflessa, che procede nel verso opposto a quella incidente.

Nel video che segue, discutiamo il caso di una corda vibrante con un punto fisso, partendo da un'onda progressiva (in verde), costruendo l'onda riflessa (in rosso) e analizzando l'onda risultante (in blu).

Nel caso in cui l'onda progressiva sia periodica, l'onda risultante sarà stazionaria.

Se volete, potete provare altre forme d'onda modificando i file GeoGebra allegati in fondo alla pagina.

Funzioni suggerite:

• • f(x) = ℯ^(-(x - ω t)²)

  • f(x) = sin(x - ω t) ℯ^(-(x - ω t)²)

  • f(x) = sin(2 (x - ω t)) ℯ^((-(x - ω t)²) / 50)

  • f(x) = sin(x - ω t)⁴

  • f(x) = 2sin(x - ω t)⁴ - 1

  • f(x) = sin(x-ω t)+cos(3(x-ω t))

  • f(x) = abs(sin(x - ω t))

  • f(x) = 2 (x - ω t - floor(x - ω t + 1 / 2)) (-1)^floor(x - ω t - 1 / 2)

Onde stazionarie.

Se sommiamo due onde periodiche di forma identica, l'una progressiva e l'altra regressiva, la loro somma non avrà nessuna ragione di muoversi verso destra o verso sinistra.  

Si creerà invece un'onda stazionaria, in cui sarà l'ampiezza a variare (vedi video qui sopra).

Una delle caratteristiche delle onde stazionarie è la presenza dei nodi, di punti che rimangono fissi mentre il mezzo vibra.

Nel video qui sotto, due altoparlanti posti l'uno di fronte all'altro emettono suoni della stessa frequenza.  Si sommano quindi un'onda (longitudinale) progressiva e un'onda (ancora longitudinale) regressiva.

La presenza dei nodi viene evidenziata mettendo delle piccole palline che rimangono sospese.

Nel video qui sotto, si vedono onde stazionarie in una bacinella d'acqua.  Ma a differenza nella nostra corda vibrante, qui gli estremi non sono affatto fissi!

Allora, cos'è che produce l'onda stazionaria?

Onde stazionarie bidimensionali