Potenziale elettrico e potenziale gravitazionale

Il teorema di Gauss ci permette di analizzare in maniera semplice molte proprietà del campo elettrico.Una delle conseguenze più rilevanti è che tutte le distribuzioni di carica con simmetria sferica generano un campo con la stessa forma radiale. Ad esempio, una sfera isolante uniformemente carica con carica totale Q produce lo stesso campo elettrico di una buccia sferica conduttrice caricata con la medesima carica Q.

Possiamo utilizzare questa conclusione per stimare il campo elettrico nelle vicinanze di una sfera carica (con carica totale Q) in due modi:

• 1. possiamo confrontare il campo con quello generato dalla sola carica Q concentrata nell'origine, ottenendo E=K_o Q/r²

  2. possiamo confrontare il campo con quello generato da una lamina infinita. Infatti, se il campo è lo stesso che si avrebbe con una buccia sferica carica (con densità superficiale σ=Q/(4π R²), se il raggio della sfera è R), e se misuriamo il campo vicinissimi alla superficie, non ci accorgiamo che la sfera è incurvata e possiamo confonderla con un piano. Questo ci dice che il campo elettrico è (approssimativamente) uniforme (e che vale E=σ/(2ε_o)= K_o Q/R²).

Il campo gravitazionale

Questa è esattamente la situazione che sperimentiamo con il campo gravitazionale:

Abbiamo già notato che la forma matematica della forza di Newton è identica a quella della forza di Coulomb: ambedue decadono con il quadrato della distanza.

Questo vuol dire che anche per il campo gravitazionale (definito come la forza divisa per la massa di prova) rispetta il teorema di Gauss e che quindi la forza di attrazione che ci lega alla Terra non cambierebbe se ridistribuissimo la massa tutta sulla crosta terrestre.

Concludiamo che il campo gravitazionale è praticamente uniforme nelle vicinanze della crosta terrestre e che il peso di un oggetto (massa di prova) non cambia se lo pesiamo in un punto piuttosto che in un altro.

Il che è esattamente la situazione che sperimentiamo.

Dall'energia potenziale gravitazionale a quella elettrica

Richiamiamo il concetto di energia potenziale:

L'energia potenziale della forza peso è

U = m g h,

dove m è la massa dell'oggetto in esame, g è l'accelerazione di gravità e h è la quota dell'oggetto rispetto ad una quota di riferimento che sta a noi scegliere (esempi tipici sono il livello del pavimento della stanza in cui facciamo l'esperimento, il livello del mare o la quota iniziale dell'oggetto prima di spostarlo).

Cosa succederebbe se il campo gravitazionale non fosse uniforme ma variasse con la quota?Per semplificare, supponiamo che l'accelerazione di gravità valga

• • g fino ad una quota di 1000 m

  • e poi improvvisamente scenda ad un valore g'.

Se guardo altezze h inferiori ai 1000 m, trovo ancora

U = mgh

ma, arrivati alla quota di 1000 m, l'energia potenziale sale un po' più lentamente, perché i corpi pesano un po' meno (mg' invece di mg). Questo significa che nel passare da 1000 a 1001 m, l'energia potenziale aumenta di mg' e non più di mg.

Dunque l'energia potenziale se h>1000 m diventa

U = mg 1000 + mg' (h-1000).

In generale, se g varia con l'altezza bisognerà sommare non due ma tanti contributi:

supponiamo che g valga g₀ fino ad una quota h₁, poi assuma un valore g₁ fino ad una quota h₂ e così via.

Allora, l'energia potenziale diventerebbe

U = m g₀ (h₁ - h₀) + m g₁ (h₂ - h₁) + ... + m g_f (h - h_f) .

[dove l'indice f è per la zona finale in cui misuro h]

Ricordandoci che la forza peso F_n nell'n-esima zona ha modulo mg_n ed è diretta in verticale verso il basso, osserviamo che anche le quantità (h_n+1 - h_n) si riferiscono solo alla componente verticale dello spostamento Δs_n, rivolta verso l'alto.

Possiamo scrivere allora mg_n (h_n+1 - h_n) come prodotto scalare -F_n·Δs_n tra il vettore forza peso e il vettore spostamento.

Ma questo è il lavoro esercitato dalla forza F_n lungo lo spostamento Δs_n.

Per concludere, l'energia potenziale

U = - F₀·Δs₀ - F₁·Δs₁ - ... - F_f·Δs_f

altri non è che il lavoro necessario a spostare la massa m dalla posizione iniziale a quella finale.

Passando ad un campo di forze che varia in maniera continua, dobbiamo trasformare la somma in un integrale.

Per rappresentare il potenziale della forza peso, possiamo utilizzare tutti i metodi che usiamo per rappresentare i rilievi sulle cartine topografiche, dal momento che nel caso della forza peso il potenziale è proporzionale alla quota. Particolarmente interessante è la rappresentazione delle curve di livello: ad ogni punto della superficie terrestre (individuato da latitudine e longitudine oppure tramite un riferimento cartesiano orizzontale) facciamo corrispondere la sua quota. Se vogliamo utilizzare la stessa idea per rappresentare il potenziale dei punti dello spazio e non del piano, ci serve un riferimento cartesiano tridimensionale e dobbiamo sostituire le curve di livello con delle superfici di livello, ma l'idea rimane esattamente la stessa. Per approfondire, vedi pag. 784 del libro.

Per tutte le forze che incontreremo (fatta salva la forza di attrazione magnetica), il lavoro non dipende dal cammino percorso. Anche in questi casi è possibile definire l'energia potenziale come lavoro necessario per spostare un oggetto da un punto di riferimento al punto in esame.

Conoscendo l'energia potenziale si può risalire facilmente alla forza: basta derivare e cambiare di segno.

Più precisamente, se P è un punto di coordinate (x;y;z) , V(P) è una funzione sia della x che della y che della z. Se vogliamo ottenere la componente della forza nella direzione x, dobbiamo pensare y e z come parametri e derivare rispetto alla sola x. Questa operazione di tenere y e z fissi mentre si deriva in x, si chiama "derivata parziale" e si indica con il simbolo ∂ invece di d:

in altre parole, il vettore forza ha componenti