Il potenziale elettrico

Il teorema di Gauss ci permette di analizzare in maniera semplice molte proprietà del campo elettrico.Una delle conseguenze più rilevanti è che tutte le distribuzioni di carica con simmetria sferica generano un campo con la stessa forma radiale. Ad esempio, una sfera isolante uniformemente carica con carica totale Q produce lo stesso campo elettrico di una buccia sferica conduttrice caricata con la medesima carica Q.

Possiamo utilizzare questa conclusione per stimare il campo elettrico nelle vicinanze di una sfera carica (con carica totale Q) in due modi:

• 1. possiamo confrontare il campo con quello generato dalla sola carica Q concentrata nell'origine, ottenendo E=K_o Q/r²

  2. possiamo confrontare il campo con quello generato da una lamina infinita. Infatti, se il campo è lo stesso che si avrebbe con una buccia sferica carica (con densità superficiale σ=Q/(4π R²), se il raggio della sfera è R), e se misuriamo il campo vicinissimi alla superficie, non ci accorgiamo che la sfera è incurvata e possiamo confonderla con un piano. Questo ci dice che il campo elettrico è (approssimativamente) uniforme (e che vale E=σ/(2ε_o)= K_o Q/R²).

Il campo gravitazionale

Questa è esattamente la situazione che sperimentiamo con il campo gravitazionale:

Abbiamo già notato che la forma matematica della forza di Newton è identica a quella della forza di Coulomb: ambedue decadono con il quadrato della distanza.

Questo vuol dire che anche per il campo gravitazionale (definito come la forza divisa per la massa di prova) rispetta il teorema di Gauss e che quindi la forza di attrazione che ci lega alla Terra non cambierebbe se ridistribuissimo la massa tutta sulla crosta terrestre.

Concludiamo che il campo gravitazionale è praticamente uniforme nelle vicinanze della crosta terrestre e che il peso di un oggetto (massa di prova) non cambia se lo pesiamo in un punto piuttosto che in un altro.

Il che è esattamente la situazione che sperimentiamo.

Dall'energia potenziale gravitazionale a quella elettrica

Richiamiamo il concetto di energia potenziale:

L'energia potenziale della forza peso è

U = m g h,

dove m è la massa dell'oggetto in esame, g è l'accelerazione di gravità e h è la quota dell'oggetto rispetto ad una quota di riferimento che sta a noi scegliere (esempi tipici sono il livello del pavimento della stanza in cui facciamo l'esperimento, il livello del mare o la quota iniziale dell'oggetto prima di spostarlo).

Passando agli incrementi, la variazione di energia potenziale passando dalla quota h alla quota h+Δh è

ΔU = mg Δh

Dunque ΔU /Δh = mg. Ma mg è, a meno del segno, la forza peso! (F è negativa perché diretta verso il basso). Quindi,

ΔU /Δh = - F

Questa relazione si può estendere al caso in cui F vari con l'altezza considerando un intervallo Δh così piccolo che la forza F possa considerarsi costante sull'intervallo, cioè basta far tendere Δh a 0. In altre parole,

F = - dU/dh

Per rappresentare il potenziale della forza peso, possiamo utilizzare tutti i metodi che usiamo per rappresentare i rilievi sulle cartine topografiche, dal momento che nel caso della forza peso il potenziale è proporzionale alla quota. Particolarmente interessante è la rappresentazione delle curve di livello: ad ogni punto della superficie terrestre (individuato da latitudine e longitudine oppure tramite un riferimento cartesiano orizzontale) facciamo corrispondere la sua quota.Se vogliamo utilizzare la stessa idea per rappresentare il potenziale dei punti dello spazio e non del piano, ci serve un riferimento cartesiano tridimensionale e dobbiamo sostituire le curve di livello con delle superfici di livello, ma l'idea rimane esattamente la stessa. Per approfondire, vedi pag. 784 del libro.

Per tutte le forze che incontreremo (fatta salva la forza di attrazione magnetica), il lavoro non dipende dal cammino percorso. Anche in questi casi è possibile definire l'energia potenziale come lavoro necessario per spostare un oggetto da un punto di riferimento al punto in esame.

Conoscendo l'energia potenziale si può risalire facilmente alla forza: infatti per definizione la differenza di potenziale per un piccolo spostamento è ΔU = -F·Δs. Si tratta quindi di prendere Δs così piccolo che la forza non cambia durante lo spostamento e scegliere la direzione dello spostamento in modo che F e Δs siano paralleli. A questo punto possiamo scrivere F=-ΔU/Δs.