La statica del corpo rigido

Post date: Oct 31, 2017 6:15:52 AM

L'esperienza

Discutiamo l'esperienza sulla bilancia utilizzando la terminologia delle leve:

La nostra esperienza ha confermato l'esistenza di una legge di proporzionalità diretta tra la Potenza P (il peso variabile) e il braccio della resistenza B_R (la distanza dal fulcro del pesetto quadrato): la condizione di equilibrio è

P = K B_R

Dove K è una costante di proporzionalità. Siccome possiamo sempre scambiare il ruolo del peso che chiamiamo resistenza con quello che chiamiamo potenza, deve valere anche

R = K B_P

e dunque (moltiplicando in croce e semplificando le K),

P B_P = R B_R

relazione nota come legge della leva, che può essere verificata in tutta la sua complessità con esperimenti analoghi al nostro.

La leva dunque eguaglia non le forze, ma il prodotto delle forze per i loro bracci. Giocando sulla lunghezza dei bracci, si possono realizzare degli "amplificatori di forza", come lo schiaccianoci, il piede di porco, la tenaglia. Può bastare una forza piccolissima per controbilanciare forze enormi. Analizziamo più da vicino questo prodotto di forza per braccio, considerando ad esempio una chiave inglese: più è lungo il braccio, minore sarà la forza necessaria a girare il bullone. Ma è importante che la forza agisca perpendicolarmente alla chiave inglese; nella figura qui accanto, se la forza fosse orizzontale invece che verticale, il dado non si muoverebbe.

Il modello

Abbiamo già detto che le forze sono vettori: hanno intensità, direzione e verso. Anche il braccio ha una intensità (la sua lunghezza), una direzione (la retta che passa per il fulcro e per il punto di applicazione della forza) e persino un verso (diciamo dal fulcro al punto di applicazione).

Dunque la quantità che ci interessa, non è il semplice prodotto tra due numeri, ma quello tra due vettori, e possiamo definire uno speciale tipo di prodotto, che chiameremo prodotto vettoriale, per tenere conto dell'orientamento della forza rispetto al braccio:

Nel foglio di lavoro qui sotto, puoi spostare il segmento blu, che rappresenta il braccio, e il vettore rosso, che rappresenta la forza. Pensa al braccio come alla chiave inglese, e alla forza come la forza esercitata per svitare un bullone.

In generale la forza non è perpendicolare al braccio, e non viene utilizzata completamente.

Scomposizione della forza

Possiamo "scomporre la forza" lungo la direzione del braccio e la direzione perpendicolare al braccio, cioè pensare il vettore forza come la somma (con la regola del parallelogramma) tra due vettori (detti componenti), uno parallelo e uno perpendicolare al braccio. Clicca sulla casella di controllo per vedere questa scomposizione.

La componente parallela non serve a svitare il bullone. Quella perpendicolare invece sì, ed è questa forza che vogliamo considerare quando facciamo il prodotto bF tra braccio e forza.

Possiamo rappresentare graficamente questo prodotto come l'area del rettangolo formato da braccio e forza (clicca per visualizzare).

Nota che questo rettangolo ha la stessa area del parallelogramma costruito con il braccio e la forza originale (clicca per visualizzare).

Dunque la quantità che ci interessa è l'area di questo parallelogramma.

Prodotto vettoriale

Chiamiamo modulo del prodotto vettoriale |u˄v| tra i vettori u e v, per i quali la punta di u coincide con la coda di v l'area del parallelogramma che ha u e v come lati.

Per stabilire il verso della rotazione che diamo al bullone, conviene dare un segno al prodotto: per convenzione scegliamo come positivo il senso antiorario.

Finchè parliamo di vettori in un piano, basterebbe così, ma in generale i fisici lavorano nello spazio tridimensionale. Con un po' di matematica, si scopre che i prodotti vettoriali si comportano come vettori, che

• 1. hanno come intensità il modulo del prodotto vettoriale

  2. hanno come direzione la perpendicolare al piano dove giacciono i due vettori

  3. hanno come verso quello dove punta una vite che viene avvitata dalla forza orientata come v.

  4. è applicato nella coda di u.

Vedi libro pag 220 per approfondimenti.

Il momento della forza

Dopo tutta questa matematica, veniamo alla fisica:

Possiamo riscrivere la legge dell'equilibrio della leva come

La somma del momento della potenza e del momento della resistenza è nullo. Questa legge si generalizza a tutti i corpi rigidi, cioè i corpi che non si deformano sotto l'azione delle forze.

Il secondo assioma della statica

Questa legge, insieme agli enti primitivi di punto materiale, corpo rigido, forza, costituiscono una teoria assiomatica per l'equilibrio, cioè un modello sul quale è possibile fare calcoli teorici e previsioni.

Non ci occuperemo qui dell'altro grande tema che riguarda la statica: quello della stabilità dell'equilibrio.