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Post date: Nov 22, 2018 1:10:20 PM
Teorema di unicità del limite:
se an ha limite a e an ha limite a', allora a=a'
Traccia della dimostrazione:
scegli ε= |a-a'|/3.
se an ha limite a, esiste un numero k per cui |an-a|< ε per tutti gli n>k
analogamente, se an ha limite a', esiste un numero k' per cui |an-a'|< ε per tutti gli n>k'
quindi, per tutti gli n>max{k,k'}, devono valere sia |an-a|< ε che |an-a'|< ε
adesso usa la disuguaglianza triangolare con x=an-a e y=a'-an, scoprendo che...
Esercizio: usa la disuguaglianza triangolare per dimostrare il
Teorema della somma dei limiti:
se an ha limite a e bn ha limite b, allora la successione cn = an + bn ha limite a+b.
In altre parole, il limite della somma è uguale alla somma dei limiti (se questi esistono e sono finiti)
Traccia della dimostrazione:
sia ε>0 un numero positivo, e sia ε' = ε/2
se an ha limite a, esiste un numero k per cui |an-a|< ε' per tutti gli n>k
analogamente, se bn ha limite b, esiste un numero h per cui |bn-b|< ε' per tutti gli n>h
quindi, per tutti gli n>max{k,h}, devono valere sia |an-a|< ε' che |bn-b|< ε'
adesso usa la disuguaglianza triangolare con x=an-a e y=bn-b, scoprendo che...
Esercizio: usa la disuguaglianza triangolare per dimostrare il
Teorema del prodotto dei limiti:
se an ha limite a e bn ha limite b, allora la successione cn = an bn ha limite ab.
In altre parole, il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti (se questi esistono e sono finiti)
Traccia della dimostrazione:
sia ε>0 un numero positivo, chiama ε' = ε/(2|b|) e ε" =ε/(2(|a|+ ε') . Ambedue sono positivi.
se an ha limite a, esiste un numero k per cui |an-a|< ε' per tutti gli n>k
usa la disuguaglianza triangolare con x=a e y= an-a, e dimostra che |an|<|a|+ε'
analogamente, se bn ha limite b, esiste un numero h per cui |bn-b|< ε" per tutti gli n>h
quindi, per tutti gli n>max{k,h}, devono valere sia |an-a|< ε' che |bn-b|< ε"
adesso usa la disuguaglianza triangolare con x = anbn - anb e y= anb - ab, scoprendo che...
Teorema dei due carabinieri:
se an e cn sono due successioni che hanno lo stesso limite l, e bn è una terza successione che gode della proprietà an ≤ bn ≤ cn, allora anche bn ha limite l.
Traccia della dimostrazione:
sia ε>0 un numero positivo.
se an ha limite l, esiste un numero k per cui |an-l|< ε per tutti gli n>k
analogamente, se cn ha limite l, esiste un numero h per cui |cn-l|< ε per tutti gli n>h
quindi, per tutti gli n>max{k,h}, devono valere sia |an-l|< ε che |cn-l|< ε
ora ho 2 possibilità:
bn < l, e allora |bn - l| = l - bn ≤ l - cn < ε
bn ≥ l, e allora ...
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