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Post date: Sep 27, 2017 4:3:31 PM
Detto ε un numero maggiore di 0, dimostra che esiste un valore k dopo il quale tutti i termini della successione an = (n+3)/n2, sono minori di ε (in altre parole per n > k, an< ε).
Detto ε un numero maggiore di 0, dimostra che esiste un valore k dopo il quale tutti i termini della successione an = (n-3)/(n+12, sono minori di ε (in altre parole per n > k, an< ε).
Utilizzano la definizione di limite di una successione, dimostra che
la successione in cui ogni termine è uguale a 7 (cioè an=7) ha come limite 7 .
Esercizio svolto:
la successione an=7+1/n ha come limite 7 .
devo mostrare che se ε > 0, allora esiste un k (che in generale dipende da ε) a partire dal quale tutti i termini seguenti della successione distano dal limite 7 meno di ε.
cioè devo fare vedere che la disuguaglianza
|7 + 1/n - 7| < ε (*)
è sempre vera a partire da da un certo numero (che indichiamo con k) in poi.
Siccome la quantità 7+1/n-7 = 1/n è sempre positiva, possiamo fare a meno del valore assoluto e dimostrare che 1/n < ε è vera a partire da un certo n in poi.
Qui la cosa più semplice è risolvere la disequazione che diventa
n > 1/ε.
In altre parole, basta prendere k=1/ε perché la disuguaglianza (*) sia vera.
Dunque 7 è proprio il limite della successione.
Esercizio svolto
la successione an = (n+3)/(2n-3), ha come limite 1/2.
Analogamente a prima, devo mostrare che per ogni ε > 0, allora esiste un k (che in generale dipende da ε) a partire dal quale tutti i termini seguenti della successione distano dal limite 1/2 meno di ε.
cioè devo fare vedere che la disuguaglianza
| (n+3)/(2n-3) - 1/2| < ε (*)
è sempre vera a partire da da un certo numero (che indichiamo con k) in poi.
Facendo il minimo comune multiplo, si ottiene
|(2n + 6 - 2n +3)/(2(2n-3))| < ε
e dunque
9/2|1/(2n-3)| < ε .
Inutile complicarci la vita, scegliamo di prendere k>1 (e quindi n>1) in modo da poter togliere il valore assoluto senza problemi.
Soluzione 1:
Moltiplicando tutto per il denominatore, che è positivo, otteniamo la disequazione
4ε n - 6ε > 9
e dunque n > (9 + 6ε)/(4ε).
Basta dunque chiamare k = max{2, (9 + 6ε)/(4ε)} e la disequazione (*) è verificata da ogni n>k.
Soluzione 2:
Per n abbastanza grande (basta n≥2) 2n-3 non solo è positivo, ma è anche maggiore di n, quindi
|1/(2n-3)| < 1/n
Ma allora, se mi assicuro che 9/2 1/n sia minore di ε, automaticamente anche |1/(2n-3)| sarà minore di ε. E per questo basta
n > 9/(2ε).
Dunque anche k = max{2,9/(2ε)} dimostra che il limite è 1/2.
perché nelle soluzioni scritte sopra mi sono assicurato che k fosse ≥ 2?
la successione an = 3-n, ha come limite 0.
la successione an = (-3)-n ha come limite 0.
Di ognuna delle successioni definite sopra, scrivi i termini da a1 ad a5.
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