I postulati della Geometria: Il postulato d'Euclide

Teorema: Dati un piano π ed un punto P esterno al piano, esiste una retta parallela al piano (cioè una retta che non interseca il paino) e passante per P.

Dimostrazione:

• 1. Per il postulato 0, nel piano π esiste almeno una retta, la chiamiamo r.

  2. Per il teorema di esistenza della parallela, esiste una retta s parallela ad r e passante per P.

  3. Dobbiamo far vedere che questa retta non può toccare il piano π. Infatti, per definizione di rette parallele, esiste un piano π' che contiene sia r che s. Se per assurdo la retta s toccasse π in un punto Q, vorrebbe dire che π'= π, perchè dal postulato 2 si dimostra subito che una retta (nel nostro caso r) e un punto esterno (nel nostro caso Q) individuano un unico piano. Ma questo è assurdo perché per ipotesi P non appartiene al piano π.

Quod Erat Demostrandum

Teorema: Il parallelismo è una proprietà transitiva. In altre parole, se la retta r è parallela alla retta s e la retta s è parallela alla retta t, allora la retta r è parallela alla retta t.

Dimostrazione:

Se r coincide con t, allora r e t sono parallele; altrimenti:

Prima dimostriamo che r e t non si incontrano e poi che esiste un piano che le contiene entrambe.

A) r e t non si incontrano:

• 1. Se per assurdo esistesse un punto P da cui passano r e t, per P passerebbero due parallele distinte ad s, il che, per il postulato di Euclide, non può essere.

B) r e t sono contenute in uno stesso piano

• 1. Per il postulato 0, possiamo prendere due punti su r, che chiamiamo A e B, e un punto su t, che chiamiamo X.

  2. Per il posulato 2, esiste un unico piano π_ABX che contiene A, B e X.

  3. Per il postulato 3, r appartiene a π_ABX. Dobbiamo far vedere che anche t è contenuta in π_ABX , sfruttando il fatto che t è parallela ad s.

  4. Per ipotesi s e t sono contenute in uno stesso piano π_st.

  5. Abbiamo già dimostrato che l'intersezione tra due piani è una retta. Chiamiamo u la retta intersezione tra π_ABX e π_st.

  6. Adesso basta dimostrare che u non incontra s per mostrare che u coincide con t.

Quod Erat Demostrandum