Per il 5/10 Angolo e pendenza

Post date: Sep 28, 2016 5:24:0 PM

Abstract:

Verifichiamo sperimentalmente la congettura: "angolo e pendenza sono direttamente proporzionali", disegnando alcuni triangoli rettangoli e misurandone gli angoli acuti e i cateti.

Dall'analisi dei dati concludiamo che la congettura deve essere scartata.

Introduzione:

Dalla discussione in classe è emersa la congettura che angolo e pendenza siano proporzionali.

Per verificare sperimentalmente questa congettura, abbiamo disegnato alcuni triangoli rettangoli, riportando in tabella le misure e i calcoli relativi ai rapporti tra cateti e tra cateti e ipotenusa:

Per la prima volta, ci siamo trovati a dover stimare l'errore non su una misura ma su un calcolo. Nel nostro caso ad es. O/A.

In classe abbiamo deciso di sovrastimare questo errore prendendolo uguale al 10% della misura, ma possiamo fare di meglio.

L'errore sul rapporto (o sul prodotto)

Vedi anche il paragrafo 4 cap 2 del libro dello scorso anno; compreso l'approfondimento.

Sia la misura di O(α) che quella di A(α) hanno un errore: siamo disposti a mettere la mano sul fuoco che O(α) sia compreso tra 2,5 e 2,7 cm e che A(α) sia compreso tra 14,7 e 14,9 cm.

L'errore di 0,1 cm è detto errore assoluto, e si indica con una Δ seguita dal simbolo della quantità cui si riferisce.

Nel nostro caso ad esempio, le misure degli angoli sono scritte nella forma α ± Δα.

E' facile capire che il rapporto O/A non può essere minore di 2,5/14,9 ≈ 0,17 né può essere maggiore di 2,7/14,7 ≈ 0,18. Potremmo quindi concludere che O/A = 0,18 ± 0,01.

Effettuare questo calcolo per ogni errore in tabella, porterebbe via un sacco di tempo. I fisici hanno quindi escogitato un sistema più rapido (ma meno preciso) per stimare gli errori sul prodotto o sul rapporto tra due quantità.

Per prima cosa si calcolano gli errori relativi:

• Definizione: l'errore relativo in una misura è il rapporto tra l'errore assoluto e la misura stessa

Ad esempio nel nostro caso l'errore relativo ΔO/O sulla misura di O è 0,1/2,6 ≈ 4%, mentre l'errore relativo ΔA/A sulla misura di A è molto più piccolo: 0,1/14,8 ≈ 1%.

Convenzionalmente si stima l'errore relativo sul prodotto o sul rapporto tra due quantità come la somma dei loro errori relativi.

Nel nostro caso, detto P=O/A, ΔP/P = ΔO/O + ΔA/A = 5%.

Da questo si ricava l'errore assoluto su P: il 5% di 0,18 è 0,009. Quindi possiamo scrivere P = 0,176 ± 0,009.

Notiamo però che della misura di O conosciamo solo 2 cifre, mentre su P ne stiamo indicando ben 3. Di solito questo si evita e siccome 0,009 è molto vicino a 0,01 si scrive P = 0,18 ± 0,01.

L'errore su O/I è chiaramente dello stesso ordine di quello di O/A, perché A e I sono molto simili e i loro errori assoluti coincidono.

• • L'errore relativo su A/I invece è molto più piccolo. Sai spiegare perché? Quanto vale questo errore relativo?

  • Sai spiegare perché invece l'errore assoluto è il doppio di quello di O/A?

Analisi dei dati:

Riempita la tabella, abbiamo rappresentato i dati in un grafico cartesiano mettendo l'angolo sulle ascisse e il rapporto O/A sulle ordinate.

L'andamento trovato non è in accordo con la congettura che queste due quantità siano direttamente proporzionali.

La congettura deve quindi essere scartata.

Altre considerazioni:

Quando il triangolo rettangolo è disposto in modo che il cateto adiacente all'angolo α è orizzontale, il rapporto O/A è la pendenza (altrimenti detta coefficiente angolare) dell'ipotenusa.

Questa stessa quantità è detta tangente dell'angolo α e si indica con il simbolo

tg α

Anche gli altri rapporti che abbiamo calcolato O/I e A/I meritano un posto di primo piano nella trigonometria e per questo motivo vi chiedo di fare altri due grafici: uno di O/I in funzione di α e l'altro di A/I in funzione di α.

Potete usare il foglio Geogebra qui sotto: