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Dati i vettori $\vec{a}=(3;4)$ e $\vec{b}=(-12;5)$,
a) calcola i loro moduli
b) trova i due vettori che hanno lo stesso modulo di $\vec{a}$ e che sono paralleli a $\vec{b}$
c) calcola il prodotto scalate tra i versori di $\vec{a}$ e di $\vec{b}$.
d) rappresenta il problema nel piano cartesiano.
Dati i punti nel piano cartesiano $A(1, 2)$, $B(4, 2)$ e $C(1, 6)$.
a) Scrivi le componenti dei vettori $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$ e calcola i loro moduli.
b) Utilizzando il prodotto scalare, dimostra che il triangolo $ABC$ è un triangolo rettangolo in $A$.
c) Calcola il perimetro del triangolo utilizzando le proprietà dei vettori per determinare la lunghezza dell'ipotenusa $BC$.
d) rappresenta il problema nel piano cartesiano.
Considera una circonferenza di centro $C(2, -1)$ passante per il punto $P(5, 3)$.
a) Determina le componenti del vettore raggio $\vec{CP}$ e calcola la lunghezza del raggio della circonferenza tramite il modulo del vettore.
b) Verifica se il punto $Q(-1, -5)$ appartiene alla stessa circonferenza, calcolando il modulo del vettore $\vec{CQ}$.
c) Determina il vettore corda $\vec{PQ}$ e calcola la sua lunghezza.
d) rappresenta il problema nel piano cartesiano.
Dati i vettori $\vec{a}=(3;4)$ e $\vec{b}=(-12;5)$,
a) trova il versore della bisettrice dell'angolo acuto formato da $\vec{a}$ e $\vec{b}$.
b) rappresenta il problema nel piano cartesiano.
Considera la circonferenza di centro $A(1;1)$ e raggio 3√65
a) Trova l'equazione della circonferenza
b) Conduci da $P(-10;23)$ le tangenti alla circonferenza. Detti T1 e T2 i punti di tangenza, determina la lunghezza dei vettori $\vec{PT1}$ e $\vec{PT2}$.
c) Determina le coordinate dei punti T1 e T2 e le coordinate dei vettori $\vec{PT1}$ e $\vec{PT2}$.
d) Usando il prodotto scalare, mostra che l'angolo tra i due vettori è acuto.
e) mostra che esiste una circonferenza passa per A, P, T1 e T2 e che questa ha centro nel punto medio del segmento AP.
f) rappresenta il problema nel piano cartesiano.
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