Notazione o (di Landau)

Post date: Oct 28, 2020 12:20:15 PM

Per i polinomi

In alcuni casi è interessante calcolare un polinomio quando la variabile è molto piccola.

Prendiamo ad es. il polinomio

f(h) = 1 + 16h + 8h² + h³

e proviamo ad approssimarlo quando h=1/100000.

In prima approssimazione, possiamo trascurare i termini con h, che è un numero piccolo e dire che f(h) vale circa 1. Questa è detta "approssimazione di ordine 0".

Se vogliamo essere un po' più precisi, possiamo dire che f(h) è circa uguale a 1 + 16/100000, perché i termini h² e h³ sono davvero piccolissimi (nel nostro caso, h² = 1/10000000000 e h³=1/1000000000000000). Questa si chiama "approssimazione al primo ordine".

Possiamo anche approssimare al secondo ordine e così via.

Quando approssimiamo, commettiamo un errore. La notazione di Landau consiste nello scrivere l'errore che commettiamo con una approssimazione di ordine 0 come o(1), quello dovuto all'approssimazione al primo ordine come o(h) e in generale quello relativo all'approssimazione di ordine n come o(hⁿ).

Ad esempio possiamo scrivere

1 + 16h + 8h² + h³ = 1 + o(1)

oppure

1 + 16h + 8h² + h³ = 1 + 16h + o(h)

o anche

1 + 16h + 8h² + h³ = 1 + 16h + 8h² +o(h²)

Nel caso dei polinomi, o(hⁿ) è un polinomio divisibile per hⁿ⁺¹. Se dividiamo o(hⁿ) per hⁿ e

calcoliamo il tutto per h=0, otteniamo il valore 0.

Per ragioni che saranno chiare a breve, diciamo che o(hⁿ) è un "infinitesimo di ordine superiore" ad hⁿ.

Definizione: Una funzione g(h) è un infinitesimo di ordine superiore ad hⁿ se la funzione q(h) = g(h)/hⁿ ha la proprietà che q(0) = 0

In linguaggio geometrico, questo significa che la funzione q(x) passa per l'origine.

Per le altre funzioni

Anche se la funzione non è un polinomio, possiamo approssimarla in modo simile:

Prendiamo ad es. la funzione f(h) = 1 + sin(h).

L'approssimazione all'ordine 0 è evidentemente 1. Scriveremo quindi

f(h) = 1 + o(1).

Possiamo anche approssimarla al primo ordine:

f(h) = 1 + m h + o(h) con m opportuno (nel caso della funzione seno, m=1)

Come è facile osservare, le quantità o(1) e o(h) non sono più polinomi, non sono più divisibili per hⁿ⁺¹ ma conservano la proprietà di essere infinitesimi di ordine superiore rispettivamente ad 1 e ad h.