Vettori

Post date: Apr 07, 2017 3:22:47 PM

Il vettore spostamento

Quando diamo indicazioni stradali, è necessario specificare il punto di partenza. A partire da questo, una indicazione stradale è una sequenza di instruzioni del tipo "gira alla seconda a destra" o "vai dritto per 100 m" o "vai a nord per 10 km".

La mappa nel foglio di lavoro contiene le istruzioni per trovare il tesoro a partire da un punto a sud dell'isola.

Nel corso degli anni, l'isola è però cambiata. Non è più possibile seguire le indicazioni originali.

Ma l'unica informazione che ci interessa è il punto di arrivo!

Allora, invece di fare prima i tre passi a nord e poi un passo ad ovest, possiamo fare il viceversa. In altre parole, abbiamo una operazione di "composizione di due spostamenti" che è commutativa (non importa l'ordine).

Possiamo introdurre la notazione

(-1,3)

per rappresentare lo "spostamento" che corrisponde all'istruzione "3 passi a nord e uno a ovest".

E' importante sottolineare il fatto che non specifichiamo il punto di partenza, ma solo la direzione in cui dobbiamo muoverci.

Geometricamente, possiamo rappresentare ogni movimento da un punto di partenza in un punto di arrivo con una "freccetta". Per rappresentare invece uno spostamento di cui non specifichiamo il punto di partenza, usiamo una freccetta che parte dall'origine del piano cartesiano.

La coppia (1,3) con cui stiamo rappresentando lo spostamento corrisponde alle coordinate della punta della freccetta.

Continuando con l'esempio della mappa, possiamo pensare di fare prima tutti i passi orizzontali e poi tutti i passi vericali. I passi orizzontali corrispondono a spostamenti lungo la "linea dei numeri" (l'asse cartesiano delle ascisse). Sappiamo già che la composizione di questi spostamenti corrisponde alla somma algebrica. Lo stesso possiamo dire per gli spostamenti verticali.

In altre parole, se compongo uno spostamento S1= (-1,3) con uno spostamento S2=(3,1), e indico con "♠" l'operazione di composizione, vale la regola

S1 ♠ S2 = (-1,3) ♠ (3,1) = (-1 + 3, 3 + 1) = (2,4)

Normalmente, l'operatore di composizione ♠ viene chiamato "somma" e indicato con +. Così faremo anche noi d'ora in poi. E' importante realizzare che agisce sugli spostamenti e non sui numeri.

Qual'è la controparte geometrica della regola algebrica sopra?

Rappresentiamo i due spostamenti con "freccette" S1 e S2 uscenti dall'origine e componiamoli: dall'origine seguo il primo spostamento ed arrivo al punto di coordinate cartesiane (-1,3). Disegno la freccetta corrispondente (sovrapposta ad S1). Poi seguo il secondo spostamento e arrivo al punto finale (2,4). Disegno la freccetta corrispondente al secondo spostamento. Questa seconda freccetta è parallela alla freccetta S2=(3,1) che avevamo disegnato inizialmente.

Riconosci la "regola dell parallelogramma"? (la somma di due spostamenti è la diagonale del parallelogramma costruito su di questi).

E' utile introdurre anche l'operazione di prodotto ☻ tra uno spostamento e uno "scalare" (ossia un numero).

Si procede come per i numeri:

5☻(2,6)

vuol dire fare 5 spostamenti consecutivi nella direzione (2,6). Il risultato è naturalmente (10,30)

Da questa definizione ricaviamo la regola algebrica

"moltiplica ambedue i numeri della coppia (2,6) per lo scalare 5"

o equivalentemente la regola geometrica

"allunga la freccetta di 5 volte"

Queste regole, valide per la moltiplicazione per scalari interi, si generalizzano in maniera standard alla moltiplicazione per scalari reali.

Assiomatizzazione

Possiamo usare la regola di somma che abbiano appena ricavato per gli spostamenti, per definire in modo assiomatico il concetto di "vettore".

Ci sono molti oggetti nell'esperienza quotidiana che si comportano come gli spostamenti che abbiamo appena considerato, ad esempio le velocità, le forze, le velocità angolari.

Chiamiamo gli oggetti caratterizzati da intensità, direzione e verso e che rispettano

• • la legge di somma ♠ e

  • quella di prodotto per uno scalare ☻,

"vettori" (e chiamiamo i loro insiemi di appartenenza "spazi vettoriali").