Conservazioni

Post date: Feb 10, 2011 9:33:2 PM

Conservazione dell'energia nel pendolo

In classe abbiamo costruito un pendolo, e ci siamo chiesti: se lasciamo il pendolo a velocità zero in un certo punto, dopo aver compiuto un'oscillazione completa, il pendolo tornerà più in alto, più in basso oppure alla stessa altezza dalla quale lo abbiamo lasciato? Abbiamo discusso e poi verificato sperimentalmente che la terza risposta è quella giusta, come si vede anche nel filmato qui sotto. Questa osservazione è stata la base per la domanda: come fa il pendolo a sapere a quale altezza deve tornare? Più precisamente, supponiamo di osservare il pendolo dopo esattamente 1s. Deve esistere un numero, che dipende dalle sue caratteristiche fisiche (posizione, velocità, magari peso, accelerazione, lunghezza del filo) che dice al pendolo esattamente quale è l'altezza a cui tornare. Questo numero, di cui il pendolo deve serbare memoria istante dopo istante, si chiama energia, più precisamente energia meccanica. In un linguaggio più scientifico, diciamo che l'energia meccanica si conserva durante il moto.

L'energia del nostro pendolo dipende sicuramente almeno dall'altezza e dalla velocità. Oltre a questo, siamo tutti d'accordo a dire che più è pesante il pendolo, maggiore è l'energia, quindi stabiliamo che l'energia dipende anche dalla massa (sulla distinzione tra peso e massa torneremo in un altro momento).

Nel caso del pendolo, si verifica che l'energia meccanica è la somma di una parte che dipende solo dalla velocità e dalla massa, detta energia cinetica, e di una parte che dipende solo dalla posizione, detta energia potenziale.

E=K+V.

Vedremo che quando la forza che fa muovere il sistema è quella gravitazionale (come nel caso della palla che cade, del pendolo o del piano inclinato), anche l'energia potenziale è proporzionale alla massa.

E' da questa osservazione che Albert Einstein ha preso l'idea per l'ultimo tassello alla sua teoria della relatività.

Ma torniamo al nostro pendolo. Quando scende, una parte della sua energia potenziale si trasforma in energia cinetica e questa trasformazione avviene in modo tale che ad ogni istante la somma delle due rimanga costante, uguale all'energia che abbiamo fornito inizialmente al sistema alzando il peso del pendolo.

Quella dell'energia meccanica è solo un esempio di legge di conservazione, ma forse la più importante. I fisici usano molto spesso il concetto di legge di conservazione, perché è un linguaggio molto potente per descrivere certe caratteristiche di un sistema.

Richard Feynman, il più grande fisico americano del secolo scorso, e grande divulgatore, ha spiegato la cosa più o meno così:

Immaginate che un bambino, il solito Pierino, abbia dei blocchi per le costruzioni, cubi assolutamente indistruttibili e indivisibili, tutti uguali. Supponiamo ne abbia ventotto. Sua madre li ripone in una stanza alla mattina; alla sera, curiosa, li conta e scopre una legge fenomenale: qualunque cosa Pierino abbia fatto con i blocchi, ce ne sono ancora ventotto! Questo si ripete per un certo numero di giorni, finché un bel giorno la mamma ne trova solo ventisette; fa una piccola ricerca, e ne scova uno sotto il tappeto: bisogna cercare ovunque per assicurarsi che il numero sia sempre quello.

Una sera, tuttavia, il numero sembra cambiato davvero: ce ne sono solo ventisei. Un’accurata indagine rivela che la finestra era aperta, e guardando nel giardino si scoprono i due blocchi mancanti, che Pierino aveva gettato via dalla finestra. Un altro giorno ce ne sono trenta! Questo provoca un notevole sconcerto, finché non si scopre che l’amico Gianni era venuto a far visita a Pierino portando con sé le sue costruzioni, e ha dimenticato qualche pezzo nella stanza.

La mamma getta via i blocchi in più, chiude la finestra, non lascia più venire Gianni a giocare, e così per un certo tempo tutto funziona, finché una sera ne trova solo venticinque. Però nella stanza c’è uno scatolone per i giocattoli; la mamma fa per aprirlo ma il bambino comincia a strillare: “Non aprire la mia scatola!”. Così la mamma non può controllare cosa c’è dentro, ma, essendo molto curiosa e anche ingegnosa, si fa venire in mente un piano. Sapendo che ogni cubo per le costruzioni pesa circa un etto, pesa la scatola dei giochi una sera in cui vede tutti i ventotto cubi, e scopre che, vuota, pesa 500 grammi. La prossima volta, per controllare se ci sono dentro dei cubi, dovrà togliere dal peso (P) della scatola 500 grammi e dividere per 100. In questo modo scopre quanto segue:

n° cubi visibili + (P – 500 g) / 100 g = costante

Poi trova qualche discordanza, ma uno studio accurato mostra che il livello dell’acqua nel lavandino è salito. Il bambino getta i cubi nell’acqua, e la mamma non li vede perché l’acqua è torbida, ma può scoprire quanti ce ne sono aggiungendo un altro termine alla formula. Poiché prima l’altezza (H) dell’acqua era 15 centimetri e ogni cubo fa alzare il livello di 6 millimetri, la nuova formula sarà:

n° cubi visibili + (P – 500 g) / 100 g + (H - 15 cm) / 0.6 cm = costante

Via via che aumenta la complessità del suo ambiente, la donna scopre un’intera serie di termini, che rappresentano modi di calcolare quanti cubi ci sono in posti in cui non può guardare. Il risultato è una formula complessa, una quantità da calcolare che rimane sempre la stessa in ogni situazione.

(R.P. Feynman- Sei pezzi facili- Adelphi)

La morale è che quando scopriamo una legge di conservazione, capiamo moltissime cose sul sistema. A volte le leggi possono essere generalizzate per descrivere sistemi più complicati, a volte semplicemente ci forniscono un linguaggio per descrivere cosa fa il nostro sistema.

Flussi

Strettamente legato al concetto di quantità conservata, c'è il concetto di flusso.

Consideriamo un liquido dentro una tubatura. C'è una legge di conservazione? Ovviamente sì: a meno che il tubo non sia bucato, la massa del liquido rimane costante. Ma c'è un modo più efficace per esprimere questa conservazione, che usa il concetto di "flusso".

Nel caso del liquido, consideriamo una sezione qualsiasi del tubo, ossia la superficie di una circonferenza che otterremmo tagliando il tubo. Pensiamo a questa superficie come ad una porta, dalla quale entra ed esce il liquido.

Il flusso (entrante) è definito come le quantità di liquido che entra nella superficie nell'unità di tempo, cioè la pendenza nel diagramma quantità di liquido - tempo.

In termini di flussi, la nostra legge di conservazione diventa:

"il flusso entrante è sempre uguale al flusso uscente",

cioè tanto liquido entra, tanto ne esce.

Ogni volta che c'è una legge di conservazione, c'è un flusso associato alle quantità in gioco.