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Post date: Mar 10, 2019 11:16:39 AM
L'assioma O.r è un primo passo per stabilire una corrispondenza tra numeri e punti, ma evidentemente non basta. Ad esempio, sappiamo che i numeri sono infiniti, ma ancora non possiamo dire la stessa cosa dei punti della retta. A questo provvede l' assioma seguente, chiedendo che le rette non abbiano inizio né fine:
Assioma O.r.illimitatezza
Dato un punto B sulla retta, esiste almeno un punto A che lo precede e un punto C che lo segue
Nota che questo assioma ci dice che i punti della retta sono infiniti, perché permette di aggiungere un ulteriore punto a qualsiasi insieme finito di punti sulla retta.
Non ci dice invece che la retta ha lunghezza infinita, prima di tutto perché non abbiamo ancora una nozione di lunghezza e poi perché i punti si potrebbero avvicinare sempre più ad un punto limite senza mai raggiungerlo.
I greci, in particolare Zenone, si erano scontrati con i paradossi dell'infinito fin dal V secolo avanti Cristo. Particolarmente suggestivi sono il paradosso di Achille e la tartaruga, il paradosso dello stadio e quello della freccia. Già due secoli dopo, ai tempi di Euclide, il linguaggio matematico si era sviluppato abbastanza da risolvere i paradossi di Zenone in termini geometrici. L'algebra, che vedrà la luce solo nel medioevo arabo, risponderà in maniera ancora più completa ai paradossi dell'infinito con l'invenzione del calcolo infinitesimale all'inizio del 1700.
In aritmetica, possiamo dividere un numero in quante parti vogliamo. Questo significa che anche i numeri compresi tra 0 e 1 sono infiniti. Se deve esserci una corrispondenza tra i numeri e i punti, i punti di un segmento dovranno essere infiniti.
Saremmo tentati di fare come il libro, chiedendo l'esistenza di un punto interno in ogni segmento come un nuovo assioma.
In realtà sarà possibile dimostrare questo risultato sulla base dell'assioma di partizione del piano, che andiamo ad introdurre. L'esistenza di un punto interno al segmento sarà poi un teorema e non un postulato.
Assioma O.π.partizione
Una retta r divide il piano in due insiemi (detti semipiani) tali che:
1) se due punti appartengono al medesimo semipiano, il segmento che li unisce non interseca la retta r
2) se due punti appartengono a semipiani diversi, il segmento che li unisce interseca la retta r
La retta si dice generatrice dei semipiani.
L'assioma di partizione è una delle grandi dimenticanze di Euclide, la prima ad essere notata. Come vedremo presto, è essenziale per stabilire l'esistenza dei punti di intersezione tra le rette e più in generale tra le linee.
Esercizio svolto (Teorema di Pasch): Dimostra che se una retta a incide il lato AB di un triangolo ABC fuori dai suoi estremi, allora o passa per il vertice C oppure incide uno tra i lati AC e BC.Dimostrazione: se a incide AB, allora A e B sono in semipiani diversi con origine a (per l'assioma O.π.partizione)
(sempre per l'assioma O.π.partizione), ho tre possibilità:
C è su a
C è nello stesso semipiano di A e allora il segmento CB deve intersecare a
C è nello stesso semipiano di B e allora il segmento CA deve intersecare a
Siamo pronti a dimostrare l'esistenza di un punto interno ad un segmento, che il libro (impropriamente) assume come assioma.
Teorema O.r.interno
Dato un segmento AB esiste almeno un punto P diverso da A e da B tale che A≤ P ≤B
Dimostrazione:
Esercizio: Considera l'insieme (che chiameremo “retta”) , fatto di soli tre elementi (detti “punti”). Chiameremo “segmento di estremi X e Y” (dove X e Y sono due punti qualsiasi) l'intera retta .
Gli assiomi d'ordine della retta, sono verificati?
Esercizio (pentacolo): Considera l'insieme (che chiameremo “retta”) , fatto di soli cinque elementi (detti “punti”). Chiameremo “segmento di estremi X e Z (o Z e X), cui appartiene il punto Y” l'insieme {X,Y,Z}, dove X, Y e Z sono tre punti qualsiasi, gli insiemi ordinati {A,B,C}; {B,C,D}; {C,D,E}; {D,E,A}; {E,A,B}; {A,C,E}; {B,D,A}; {C,E,B}; {D,A,C}; {E,B,D} Quali assiomi d'ordine della retta sono verificati?
Figura 1: “Segmenti” che hanno come estremo
il punto A. Dato ogni altro punto, esiste un
“segmento” con estremo in A che lo contiene.
Esercizio svolto: dimostra che una retta non può incontrare i lati di un triangolo in più di due punti a meno di non contenere uno dei lati. Dimostrazione (per assurdo): Facciamo vedere che non è possibile che una retta tocchi i lati in tre punti. Se questa retta esistesse,Per l'assioma A.r.unicità, possiamo escludere che la retta tocchi una delle rette che contengono i lati in due o più punti, altrimenti coinciderebbe con una di queste contro le ipotesi (assurdo).
L'unico caso rimanente è quello di una retta che tocca tutti e tre i lati in esattamente un punto ciascuno
di questi tre punti, per il lemma di ordinamento di tre punti, uno giace tra gli altri due. Lo chiamiamo Y, e chiamiamo X e Z gli altri due punti, in modo che Y appartenga al segmento XZ. Chiamiamo A e B gli estremi del lato che contiene Y e C il terzo vertice.
Ma la retta AB incontrerebbe il triangolo XZC in un solo punto (cioè Y), contro il teorema di Pasch (assurdo).
Studia il paragrafo "figure e proprietà" a pag G6, escluso "figure congruenti", dove troverai le definizioni di
Semipiano
Figura convessa o concava
Angolo
nullo
giro
piatto
angoli consecutivi
angoli adiacenti (o supplementari)
angoli opposti al vertice
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