L'uomo Vitruviano

Questa volta, avremmo potuto lavorare con tre diverse congetture:

• 1. Altezza e larghezza di braccia sono uguali tra loro.

  2. Altezza e lunghezza dell'avambraccio sono proporzionali tra loro.

  3. Altezza e lunghezza dell'avambraccio sono legati da una relazione lineare.

La congettura più forte è la prima, perché implica la seconda che implica la terza. In altre parole, la prima congettura è un caso particolare della seconda che è un caso particolare della terza.

Abbiamo scelto di lavorare con la terza perché è la più istruttiva.

Abbiamo quindi preso le misure per confrontarle con la congettura teorica (la legge lineare). I possibili esiti erano dunque:

• 1. I dati si accordavano la legge lineare: in questo caso, la congettura assumeva lo status di legge sperimentale.

  2. I dati non si accordano con la legge lineare: e allora la congettura va scartata o riformulata.

La legge sperimentale vale fintanto che un nuovo esperimento non dimostra che è falsa. Viceversa, l'esito negativo dell'esperimento mette fine alla congettura. C'è quindi una sproporzione nel metodo sperimentale tra l'esito positivo e quello negativo di un esperimento.

In generale gli esperimenti vengono progettati per dimostrare che una legge è falsa.

La misura e l'errore

Per ogni individuo, dovevamo prendere due misure: l'altezza e la larghezza delle braccia. Ambedue le misure sono state prese con un metro da sarto della lunghezza di 1,5 m e con una sensibilità di 0,5 cm.

L'incertezza (o errore) sulle misure ha diverse cause:

• 1. La sensibilità dello strumento, che corrisponde alla distanza tra due linee successive nel metro ed è attestata dal costruttore in 0,5 cm.

  2. Le difficoltà sperimentali, in particolare:

     • l'impossibilità di misurare l'altezza (o la larghezza) in un'unica misura. Le incertezze dulle due fasi della misura si vanno a sommare, portando l'incertezza globale ad almeno 1 cm.

     • le difficoltà di misura. L'altezza è stata traguardata con una squadra appoggiata al muro, operazione che aggiungeva un'incertezza di 0,5 cm; inoltre sul era difficile stabilire la verticalità del metro, per cui abbiamo aggiunto un'incertezza di ulteriori 0,5 cm; abbiamo deciso di misurare l'altezza con le scarpe, e di conseguenza abbiamo aggiunto 1 cm di incertezza sulla misura del tacco. Per la larghezza delle braccia, ci siamo appoggiati ad un muro in modo che il metro non venisse curvato dal corpo e abbiamo misurato la distanza tra i segni fatti sul muro. La difficoltà a stabilire l'orizzontalità delle braccia e del metro è stata stimata in 2 cm di incertezza sulla misura.

Quando dichiariamo che una misura x ha una data incertezza δ, stiamo affermando che siamo assolutamente sicuri che la quantità che abbiamo misurato è compresa tra x-δ e x+δ. Realizzando l'esperimento, dobbiamo fare di tutto per rendere δ piccolo, ma poi non dobbiamo sottostimarlo.

L'analisi dei dati

Abbiamo confrontato i dati sperimentali con la congettura teorica (la legge lineare) con un metodo grafico.

Per prima cosa abbiamo rappresentato i dati su un piano cartesiano. Ad ogni dato corrisponde un rettangolo che rappresenta tutti i punti compatibili con l'incertezza sulla misura. Ad esempio, al dato

(153 ± 2; 156 ± 3)

corrisponde il rettangolo di base 4 e altezza 6 centrato intorno a (153;156) perché tutti i punti all'interno di questo rettangolo, come ad es (151;158) sono compatibili con la nostra misura.

Abbiamo scelto la scala e gli estremi del nostro grafico in modo da rappresentare tutti i rettangoli sperimentali:

In orizzontale il grafico parte da 135 cm e termina a 195 cm, ogni cm sul grafico corrisponde a 2 cm di larghezza.

In orizzontale il grafico parte da 145 cm e termina a 185 cm, ogni cm sul grafico corrisponde a 2 cm di altezza.

Rappresentati i sei rettangoli corrispondenti ai dati in tabella, abbiamo verificato l'esistenza di una retta che attraversasse tutti e sei i rettangoli.

In caso affermativo, la congettura sull'esistenza di una legge lineare che lega l'altezza alla larghezza delle braccia è diventata una legge sperimentale. Abbiamo quindi misurato i due parametri della legge lineare: il coefficiente angolare m e il termine noto q della legge

h = m l +q,

dove h rappresenta l'altezza e l la larghezza delle braccia.

In caso negativo, abbiamo stabilito definitivamente che la congettura sull'esistenza di una legge lineare che lega l'altezza alla larghezza delle braccia è falsa.

Solo a scopo didattico, abbiamo ugualmente tracciato una linea che descriveva "il meglio possibile" la nostra situazione sperimentale (linea di "best fit") e abbiamo calcolato i parametri di questa retta.