Geometria 3: enti e relazioni fondamentali

Post date: Jan 30, 2019 12:50:7 PM

Enti geometrici fondamentali.

Cominciamo a dare un nome ai cinque protagonisti del nostro modello:

Due di questi sono i mattoni con cui costruiremo tutti gli oggetti geometrici

• • I punti saranno gli elementi del nostro modello. L'insieme di tutti i punti è detto piano.

  • I sottoinsiemi del piano vengono detti figure. Particolari figure, dette rette, avranno un ruolo cruciale nel nostro modello

Gli altri tre protagonisti sono delle relazioni tra le figure geometriche

• • L'appartenenza è una classica nozione di insiemistica. Un punto apparterrà ad una figura geometrica se ne è contenuto.

  • L'ordinamento servirà a stabilire la corrispondenza tra i punti di una retta e i numeri reali. L'idea centrale dell'assiomatica di Hilbert è quella di definire la geometria sulla falsariga dell'algebra e questa corrispondenza giocherà un ruolo centrale in questo percorso.

  • La congruenza, o sovrapponibilità è una particolare nozione di uguaglianza, che corrisponde all'idea di “sovrapponibilità tramite uno spostamento rigido”. Ci sono molte altre relazioni di uguaglianza che sono interessanti in geometria: parleremo di coincidenza quando due oggetti sono in realtà uno solo, di equivalenza quando due figure hanno la stessa area e così via. Dire che due oggetti sono sovrapponibili significherà che hanno la stessa forma, ma dovremo essere molto precisi e dichiarare bene cosa intendiamo attraverso specifici assiomi.

Questi cinque protagonisti saranno definiti attraverso le loro proprietà, che costituiranno gli assiomi della teoria. Per adesso, sono solo dei nomi vuoti. Tutti gli altri oggetti saranno definiti a partire da questi come in un gioco di costruzioni.

È bene sottolineare che tutti gli oggetti che andremo a definire, compresi gli enti fondamentali, sono modelli di oggetti reali. Prima di procedere con le definizioni è quindi utile chiarire cosa abbiamo in mente:

• • Il punto è un oggetto che non avrà nessuna caratteristica di misura: né lunghezza, né larghezza né profondità: avrà soltanto la posizione. È l'astrazione di un oggetto di cui ci interessa la posizione ma non le dimensioni; possiamo visualizzarlo, perdona il gioco di parole, con un punto (inteso come segno grafico).

  • Euclide definiva la retta come il prolungamento di un segmento, che a sua volta era la materializzazione dell'idea di lunghezza. Prolungando il segmento otteneva la retta. Noi moderni seguiamo il procedimento opposto.

Indicheremo i punti con le lettere latine maiuscole (A, B, P ecc.), le rette con le lettere latine minuscole (a, b, r ecc.), i piani (e gli angoli) con le lettere greche minuscole (α, β, π ecc).

Continua...