Vettori 2

Post date: Apr 23, 2017 9:40:39 AM

Altri vettori

Finora abbiamo definito cosa intendiamo per "spostamento" e abbiamo individuato alcune proprietà matematiche degli spostamenti.

Ora sappiamo fare la composizione tra due spostamenti successivi (operazione che indichiamo con il nome di "somma") e abbiamo anche un concetto di spostamenti ripetuti (che indichiamo con il nome di "moltiplicazione" di uno spostamento per un numero).

Noi abbiamo usato il piano cartesiano per introdurre gli spostamenti, ma è stata solo una scelta di comodo per semplificare gli aspetti matematici. Storicamente, il piano cartesiano venne inventato circa mezzo secolo la scoperta della natura vettoriale delle forze.

Oltre agli spostamenti, esistono altri oggetti che hanno le stesse proprietà matematiche.

Velocità

Le velocità ad esempio, rappresentano gli spostamenti nell'unità di tempo.

Affermare che un oggetto ha velocità

v = (3;4) m/s

significa dire che in un secondo ha uno spostamento

d = (3;4) m.

Essendo la velocità uno spostamento per unità di tempo, è facile capire che deve avere le stesse proprietà matematiche che hanno gli spostamenti:

Consideriamo un oggetto che si muove

• 1. a velocità (costante) di 13 m/s

  2. lungo la retta di equazione y = 12/5 x

  3. nel verso delle x crescenti.

Dopo un secondo, si troverà a distanza 13 m dal punto di partenza. Quanti metri ha percorso in orizzontale? E quanti in verticale?

Chiamiamo x la distanza percorsa in orizzontale e y la distanza percorsa in verticale in un secondo. Lo spostamento in un secondo è dunque il vettore

d = (x;y) .

e la lunghezza di questo vettore (cioè la distanza tra coda e punta del vettore) secondo i dati del nostro problema è di 13 m.

In formule,

√(x² + y²) = 13

che elevata al quadrato e messa a sistema con

y = 12/5 x

diventa

x² + (12/5)² x² = 13²

mettendo in evidenza x² e facendo il minimo comune multiplo,

x² (25 + 144)/25 = 169

che semplificando 169 e moltiplicando per 25 diventa

x² = 25

e dunque

x = ± 5.

Tra queste due soluzioni, dobbiamo scartare quella negativa, perché sappiamo che lo spostamento avviene nel verso delle x crescenti.

Usando l'equazione della retta, concludiamo che lo spostamento dell'oggetto in un secondo è il vettore

d = (5;12) m.

In un secondo, lo spostamento lungo l'asse x è di 5 m, dunque la componente orizzontale della velocità è di 5 m/s.

Analogamente, la componente verticale è 12 m/s.

Il vettore velocità è

v = (5;12) m/s,

e proprio come d è la somma dello spostamento orizzontale (5;0) m e dello spostamento verticale (0;12) m, v è la somma della velocità orizzontale (5;0) m/s e della velocità verticale (0;12) m/s: la velocità ha evidentemente le stesse regole di somma dello spostamento.

In maniera del tutto analoga, le accelerazioni sono cambiamenti di velocità per unità di tempo, e dunque ereditano le proprietà matematiche delle velocità e degli spostamenti.

Definizione

Vediamo dunque di formalizzare queste proprietà matematiche comuni a spostamenti, velocità e accelerazioni.

Chiamiamo vettore un oggetto che ha tre caratteristiche:

• 1. una intensità (nel caso degli spostamenti, la distanza tra il punto di partenza e quello di arrivo; nel caso della velocità la distanza percorsa nell'unità di tempo ecc.)

  2. una direzione (cioè giace su una determinata retta);

  3. un verso (da che parte della retta punta)

e per il quale sono definite le operazioni di

• 1. somma con un altro vettore attraverso la regola del parallelogramma;

  2. prodotto per un numero.

Vale la pena sottolineare che anche se noi ci concentreremo sui vettori nel piano, è del tutto naturale considerare vettori nello spazio tridimensionale.

Perché i vettori sono così importanti in Fisica?

Perché ci permettono di ragionare separatamente sulle diverse direzioni, semplificando enormemente i problemi.

Ci sono altri vettori oltre agli spostamenti, alle velocità e alle accelerazioni?

Il più importante, il primo ad essere scoperto, è la forza.