Conservazione dell'energia in un oscillatore

Conservazione Abbiamo già discusso di leggi di conservazione in due sistemi fisici diversi:

• • il pendolo, che dopo ogni oscillazione ritorna al punto di partenza

  • la palla che rimbalza, che (se il rimbalzo è perfetto) ritorna al punto di partenza.

Adesso studiamo un terzo sistema fisico: un peso appeso ad una molla e che oscilla in verticale.

Si tratta di un sistema fisico più complicato, perché non conosciamo molto della forza esercitata da una molla, ma che ha il vantaggio di poter essere studiato attraverso i sensori che abbiamo in laboratorio.

Anche in questo sistema, il peso compie un'oscillazione per poi tornare al punto di partenza.

Come fanno questi sistemi a "ricordare" la posizione che avevano inizialmente?

Deve esserci una qualche quantità che rimane invariata in ogni istante del moto, e che conserva l'informazione di quale sia l'altezza cui tornare. Questa quantità la chiameremo "energia".

Nella migliore delle ipotesi

Abbiamo già visto come questa quantità debba perlomeno dipendere dalla velocità e dalla posizione. Se siamo fortunati, l'energia sarà la somma di una parte che dipende solo dalla velocità e di una parte che dipende solo dalla posizione.

In altre parole, la situazione più semplice dal punto di vista matematico è che

E = K + U,

Dove K, detta energia cinetica, dipende solo dalla velocità e U, detta energia potenziale, dipende solo dalla posizione. Anche se sia K che U variano istante per istante, lo fanno in modo tale che la loro somma rimanga costante.

Il diagramma velocità-posizione

Cerchiamo quindi una qualche quantità che dipenda da posizione e velocità e che istante dopo istante continui ad avere uno stesso valore. Il diagramma giusto per cercare questa quantità è il diagramma velocità-posizione, in cui il tempo non appare.

Il nostro software ci ha fornito automaticamente questo diagramma.

Una circonferenza

Dopo aver scelto la scala di misura in maniera opportuna, ci siamo trovati davanti ad una circonferenza con centro sull'asse delle ascisse (che rappresenta l'asse delle posizioni).

Sappiamo che i punti di una circonferenza verificano un'equazione del tipo

(X-X_C)² + (Y-Y_C)² = R²,

che può essere letta come una legge di conservazione: le due quantità (X-X_C)² e (Y-Y_C)² cambiano, ma lo fanno in modo tale che la loro somma rimanga costante. Il raggio al quadrato ha tutte le proprietà che chiediamo all'energia: rimane costante al variare di X e di Y ed è la somma di una parte che dipende da X e di una che dipende da Y.

Non ci resta quindi che da stabilire qual è l'equazione della nostra circonferenza nel piano velocità-posizione.

Quale circonferenza?

E' chiaro che velocità e posizione hanno dimensioni fisiche diverse: la prima si misura in m/s , la seconda in m. Non avrebbe quindi alcun senso sommare x² con v².

D'altra parte, ricordate che prima di ottenere la circonferenza, abbiamo dovuto scegliere la scala giusta per il grafico. Prima avevamo non una circonferenza ma un'ellisse.

Dobbiamo trovare il modo di avere un grafico nel quale non solo ascissa e ordinata hanno la stessa dimensione fisica, ma sono misurate nella scala giusta, altrimenti avremo un'ellisse.

Per ottenere quantità con dimensioni fisiche confrontabili, la cosa più semplice è dividere la x e la v per le loro unità di misura:

• • se x è misurata un unità d, la quantità X=x/d ha la dimensione fisica di un numero puro perché [lunghezza/lunghezza] = [numero].

  • Analogamente, se v è misurata in unità u, la quantità Y=v/u ha la dimensione fisica di un numero puro perché [velocità/velocità] = [numero].

Questo risolverebbe il problema dimensionale, ma solo scegliendo opportunamente il rapporto u/d avremo una circonferenza invece di un'ellisse.

Cambiare u o d equivale a cambiare scala nel grafico. Nel software di analisi dati, questa operazione si effettua posizionando il mouse sul pulsante accanto all'asse da riscalare e muovendo la rotellina del mouse.

La scelta giusta dipende dalle caratteristiche della molla. Siccome le molle dei vari gruppi erano diverse, dovevate scegliere rapporti diversi.

Vedremo in futuro che il rapporto giusto è

u/d = √(m/k),

dove m è la massa del pesetto e k una quantità detta costante elastica della molla. Più è grande k, più è "forte" la molla.

La scelta standard è u = √(2/m) e d = √(2/k) , in modo da scrivere l'equazione della circonferenza come

½m v² + ½k (x-x_C)² = r²,

dove x_C è l'ascissa del centro della circonferenza.

La quantità

K := ½m v² è detta energia cinetica,

la quantità

U := ½k (x-x_C)² è detta energia potenziale (dovuta alla molla e alla forza gravitazionale)

la quantità

E := K + U è detta energia meccanica totale ed è uguale ad r² in ogni punto e in ogni istante di tempo.

Nella relazione

Analizzando i grafici sperimentali,

1. osservate che con una opportuna scelta delle unità di misura, nel piano velocità-posizione si trova una circonferenza.

2. sapendo che la massa del pesetto è 150±5 g , stimate i parametri di questa circonferenza (k, x_C ed r)

3. scrivete la legge di conservazione dell'energia meccanica

4. nel caso abbiate realizzato più misure, il raggio della circonferenza che avete trovato cambiava di esperimento in esperimento? Perché?

5. misurate l'altezza minima e l'altezza massima raggiunte dal pesetto.

6. misurate il periodo della posizione (cioè l'intervallo di tempo che passa tra due punti di massima altezza consecutivi)

7. misurate la velocità minima e la velocità massima raggiunta dal pesetto (avendo cura di scartare i punti sbagliati).

8. misurate il periodo della velocità (cioè l'intervallo di tempo che passa tra due punti di massima velocità consecutivi)

9. misurate l'accelerazione minima e l'accelerazione massima del pesetto.

10. misurate il periodo dell'accelerazione (cioè l'intervallo di tempo che passa tra due punti di massima accelerazione consecutivi)