G2: gli assiomi d'ordine della retta

Post date: Mar 04, 2020 12:23:46 PM

Per procedere oltre nella definizione della geometria euclidea, dobbiamo iniziare ad occuparci dei vari sottoinsiemi del piano e della retta, che utilizzeremo per costruire le figure geometriche più complesse.

Dopo aver enunciato gli assiomi di appartenenza, sappiamo cosa contiene il piano e cosa la retta, ma non abbiamo ancora dato nessuna proprietà che dica come gli elementi di piano e retta siano organizzati.

Gli assiomi che specificano questa organizzazione interna si chiamano assiomi d'ordine.

Alla fine del 1800, quando la geometria euclidea è stata rifondata, l'aritmetica era già stata assiomatizzata.

Siccome le connessioni tra aritmetica e geometria erano già conosciute e consolidate da tre secoli, era naturale assiomatizzare la geometria sulla falsariga dell'aritmetica.

L'idea fondamentale non ti è nuova: fin dalla prima elementare hai avuto a che fare con la retta dei numeri.

Qui vogliamo fare una cosa simile: vogliamo mettere in corrispondenza i punti della retta con dei numeri. Ci serve prima di tutto un assioma che ci dica che in una retta i punti sono "uno dopo l'altro".

Più precisamente, chiediamo che esista un ordine tra i punti della retta, in modo da poter decidere chi viene prima e chi viene dopo.

Assioma O.r di ordine della retta

Esiste una relazione d'ordine (che indichiamo con il simbolo ≤ e leggiamo "precede") tra i punti della retta, cioè una relazione tra i punti della retta che gode di tre proprietà:

1) A ≤ A (proprietà riflessiva)

2) se A ≤ B e B ≤ A, allora A=B (proprietà antisimmetrica)

3) se A ≤ B e B ≤ C, A ≤ C (proprietà transitiva)

Dove A, B e C indicano punti generici della retta.

Le tre proprietà si leggono:

1) Ogni punto precede se stesso. Stiamo solo dicendo che consideriamo la relazione A ≤ B e non la relazione A < B: niente di fondamentale.

2) Questo punto invece è essenziale: nessun punto A può precedere e contemporaneamente essere preceduto da un altro punto B, a meno che i due punti non coincidano.

3) Questa proprietà evita situazioni circolari. Per i punti della circonferenza la proprietà non vale perché continuando a percorrere la circonferenza in un dato verso, ritorno al punto di partenza.

E' importante sottolineare che la protagonista di questo assioma è la retta e che non tutti gli insiemi sono ordinabili.

La proprietà antisimmetrica permette di dividere la retta in due insiemi disgiunti (cioè due insiemi che non hanno elementi comuni): l'insieme dei punti che precedono A e quello dei punti che seguono A. Infatti B non può contemporaneamente precedere e seguire A.

Definizione (retta orientata): una retta munita di una relazione d'ordine è detta retta orientata. Siccome anche la relazione "non precede" (che chiamiamo "segue") è una relazione d'ordine [vedi esercizio precedente], sulla retta esiste non uno ma due possibili ordinamenti, a seconda che scegliamo un verso di percorrenza oppure il suo opposto. Le rette possono quindi essere orientate in due versi opposti.

Vogliamo ora popolare la nostra retta di punti, e lo facciamo con un assioma

Assioma O.r.Successore (del predecessore/successore)

Dato un punto P su una retta orientata, esiste sempre un punto A sulla retta che precede P e un punto B che lo segue

Per ragioni espositive, il libro assume come assioma il 3a (pag 510), ma a breve dimostreremo questo enunciato sulla base dell'assioma di partizione del piano che ancora non abbiamo introdotto. In altre parole, il 3a è un teorema e non un assioma, ma

Definizione (semiretta): data una retta e un punto su di essa (che prende il nome di origine), l'insieme di tutti i punti che seguono l'origine viene detto semiretta.

Definizione (semiretta orientata): Le semirette hanno un ordine naturale tra i loro punti: quello per cui l'origine precede gli altri punti.

Definizione (segmento): data una retta e due punti distinti A e B su di essa, l'insieme di tutti i punti P che seguono A e precedono B (o viceversa) viene detto segmento.

Definizione (segmento orientato): I segmenti possono essere orientati in modo che l'estremo A preceda B oppure in modo che l'estremo B preceda A.