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Schema logico
Schema logico
L'equazione di stato dei gas perfetti (pV = nRT) ha nel membro di sinistra pV un lavoro. Questo suggerisce che in qualche modo rappresenti l'energia del sistema. Costruiamo un semplice modello meccanico per interpretare microscopicamente questa equazione.
Schematizziamo il gas come fatto di punti materiali che interagiscono con le pareti (in maniera elastica) ma non tra di loro.
Prendiamo un recipiente di forma cubica e chiamiamo L il suo lato.
Nel recipiente mettiamo N particelle.
Distribuiamo le particelle in maniera uniforme nel recipiente e supponiamo, per semplificare al massimo, che 1/6 delle particelle si muova verso di noi, a colpire la faccia anteriore del cubo e che analogamente 1/6 delle particelle si muova verso ognuna delle altre facce.
Per semplificare, supponiamo che le particelle incidano perpendicolarmente alla faccia di pertinenza.
Assumiamo anche, per semplificare al massimo, che tutte le particelle si muovano a velocità v.
Fissiamo un piccolo intervallo di tempo Δt.
Le particelle che in questo intervallo di tempo possono urtare la faccia anteriore sono quelle che
si muovono in avanti e
che distano dalla faccia meno di δ=v Δt.
Per calcolarne il numero (che indichiamo con x), dobbiamo fare una proporzione: x sta al numero di particelle che vengono in avanti come δ sta al lato L del cubo.
Quindi
x = 1/6 N v Δt/L
Ogni particella tra queste x urta elasticamente la parete del contenitore e in questo modo esercita una forza che preme sulla parete stessa.
Nell'urto, la parete non si muove; la particella conserva il modulo della velocità ma inverte la direzione (urto elastico): Inizialmente viaggiava a velocità v, dopo l'urto viaggia a velocità -v.
La variazione di velocità è quindi
Δv = -2v.
L'accelerazione subita dalla particella è dunque
a = Δv / Δt = -2v / Δt
La seconda legge di Newton ci dice che sulla particella deve aver agito una forza
fpart = ma = -2m v / Δt ,
dove m è la massa della particella.
La terza legge di Newton ci dice che anche la particella esercita una forza sulla parete, e che questa forza è uguale e contraria a quella che ha deviato la particella, cioè
fparete = 2m v / Δt.
La forza totale sarà dunque data dal prodotto della forza fparete esercitata da una singola particella moltiplicata per il numero x di particelle che urtano la parete:
F = x·fparete = (1/6 N v Δt/L) · (2m v / Δt) = 2/3 N/L (½ mv²) = 2/3 N/L K,
dove K=½ mv² è l'energia cinetica della singola particella.
La pressione è la forza per unità di superficie:
p = F / L²
Dunque il prodotto pV è uguale a
pV = FL
Sostituendo,
pV = 2/3 N (½ mv²) = 2/3 N K
Confrontando questa espressione con l'equazione di stato dei gas perfetti nella forma pV = N kB T (dove kB è la costante di Boltzmann, cioè il rapporto tra la costante R dei gas e il numero di Avogadro), otteniamo
2/3 N K = N kB T
e dunque
T = 2/(3kB) K.
La temperatura è dunque interpretabile come energia cinetica media!
Il fattore 2/3 è legato alla tridimensionalità del sistema, kB è solo un fattore di conversione tra i gradi Kelvin e i Joule.
Stiamo collegando due teorie fisiche che nascevano separate: la termodinamica e la meccanica.
Avevamo definito la temperatura operativamente, attraverso la costruzione di un termometro a gas. Ma ora abbiamo della temperatura una interpretazione del tutto diversa, in termini di energia media delle particelle del sistema. Possiamo quindi abbandonare la definizione empirica e assumere la relazione
T = 2/(3kB) K
come nuova definizione di temperatura.
Possiamo anche capire per quale motivo esiste lo zero assoluto: l'energia cinetica K=½ mv² non può evidentemente essere negativa. Lo zero assoluto corrisponde ad un'energia cinetica media nulla, ossia ad un gas di particelle ferme.
Guarda il video fino al minuto 11.
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