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Post date: Feb 25, 2017 7:59:2 AM
In una recente esperienza nel laboratorio di informatica , abbiamo utilizzato il linguaggio delle funzioni e degli operatori sulle funzioni.
Facciamo il punto:
Tabella e grafico di una funzione
Tabella e grafico di una funzione
La funzione da cui siamo partiti era data sotto forma di tabella e rappresentava il numero di nati a Prato dal 2009 al 2011.
La funzione associa ad un dato mese (variabile in ingresso, detta anche variabile indipendente) il numero di nati in quel mese (variabile in uscita, detta anche variabile dipendente).
Per rappresentarla in un grafico cartesiano, abbiamo dovuto sostituire ai valori di testo (come "marzo 2010") dei valori numerici e abbiamo deciso di usare il numero d'ordine del mese, ossia una variabile intera.
Da quel momento in poi, la funzione che abbiamo esaminato prendeva in ingresso numeri interi positivi. Le funzioni di questo tipo vengono spesso chiamate successioni.
In uscita, abbiamo interpretato il numero di nati nel mese dato come una velocità: la velocità con cui è aumentata la popolazione di Prato. Anche in uscita avevamo valori interi positivi.
La nostra funzione trasformava numeri interi positivi in numeri interi positivi. Più precisamente, trasformava l'insieme {1,2,...,36} nell'insieme dei numeri interi positivi.
L'insieme di partenza viene chiamato dominio, quello di arrivo, codominio.
Scriviamo
N(t)
per dare un nome alla legge che associa al numero t (che rappresenta il mese) il numero N (che rappresenta i nati/mese). Attenzione a non confondere questa notazione con la moltiplicazione di N per t.
La dimensione fisica degli elementi del dominio era quella del tempo, e l'unità di misura il mese.
Per il codominio invece la dimensione fisica era quella dell'inverso del tempo e l'unità di misura le unità al mese.
Quando la funzione trasforma un insieme numerico ordinato in un altro insieme numerico ordinato, come nel nostro caso, è spesso utile rappresentarla graficamente in un piano cartesiano, cosa che abbiamo fatto con l'aiuto di GeoGebra. La convenzione che si usa è di mettere la variabile indipendente sull'asse delle ascisse e la variabile dipendente sulle ordinate. Per ragioni grafiche, abbiamo chiesto a GeoGebra di rappresentare i dati con un diagramma a barre.
L'operatore somma
L'operatore somma
A questo punto ci siamo interessati ad una nuova funzione: quella della popolazione dei pratesi nati dopo il 1/1/9 al variare del mese (nell'ipotesi che nessun pratese sotto i 3 anni sia morto tra il 2009 e il 2011). Con lo stesso linguaggio usato per N(t), indichiamo con
P(t)
questa funzione. P(t) associa ancora numeri interi a numeri interi, ma la dimensione fisica della variabile dipendente, che prima era di unità/mese, ora è di unità.
Naturalmente, la nostra tabella iniziale conteneva tutte le informazioni necessarie per risalire a P(t): bastava sommare tutte le nascite fino al mese che ci interessava.
A partire da una funzione ne abbiamo costruita un'altra. La procedura con cui si passa da una funzione ad un'altra viene in generale detta operatore. Nel nostro caso particolare, stiamo usando l'operatore somma (anche detto sommatoria), che associa al tempo t il numero
P(t) = N(1) + N(2) + ··· + N(t)
Per non scrivere tutta la somma, si usa le lettera Σ e si scrive più compattamente
P(t) = Σi=1,...,t N(i)
che si legge "sommatoria per i che va da 1 a t di N(t)".
Sperando di non indurre confusione, indichiamo l'operatore somma con la lettera Σ e scriviamo simbolicamente
P = Σ[N]
Abbiamo usato il foglio di calcolo per farci calcolare P(t) automaticamente. Per questo, abbiamo usato una semplice conseguenza della definizione di P(t), cioè l'identità
P(t) = P(t-1) + N(t)
che ha il significato di "per sapere la popolazione questo mese t, prendo la popolazione del mese scorso e gli sommo il numero di nati questo mese".
L'operatore differenza
L'operatore differenza
Siamo riusciti a ricavare la funzione P(t) a partire dalla funzione N(t). Possiamo fare il viceversa? In altre parole, se ci venisse data la tabella con la popolazione dei pratesi nati dopo il 1/1/9 al variare del mese, riusciremmo a ricostruire il numero di nati mese per mese?
Ovviamente sì: basta togliere alla popolazione ad un dato mese la popolazione del mese precedente per sapere quanti si sono aggiunti.
N(t) = P(t) - P(t-1)
che, come si può verificare algebricamente, è equivalente alla relazione scritta sopra.
Anche qui, possiamo dire che c'è un operatore che permette di passare dalla funzione P(t) alla funzione N(t).
Diamo a questo operatore con il nome di differenza (o anche derivata discreta) e lo indichiamo con la lettera D
(molto comuni anche i simboli Δ, δ e ∂).
Teorema di Torricelli-Barrow
L'operatore differenza è l'inverso dell'operatore somma. Più precisamente, se
F = Σ[f] allora f = D[F]
Nel nostro caso, siccome P = Σ[N] allora N = D[P].
Questo teorema (che si estende anche a funzioni di variabile continua generalizzando le definizioni di Σ e di D) è noto anche con il nome di "teorema fondamentale del calcolo" ed è stata la chiave per la nascita della fisica moderna alla fine del 1600.
Perché siamo tanto interessati a questo risultato? E qual è il nesso con la fisica?
Immaginiamo un modello a tempo discreto, cioè un modello in cui il tempo, come nei fotogrammi successivi di un film, assume valori multipli di una grandezza δ.
Sappiamo già che la velocità v(t) si può definire come
,
dove x(t) è la posizione al tempo t .
Nel caso in cui δ è uguale ad 1, v = D[x] e quindi il teorema di Torricelli Barrow ci dice come calcolare la posizione a partire dalla velocità o viceversa come calcolare la velocità a partire dalla posizione.
Interpretazione geometrica della somma come area.
Interpretazione geometrica della somma come area.
Ricordate l'aneddoto del piccolo Gauss?
Gauss doveva calcolare la funzione
S(n) = 1 + 2 + ··· + n = Σi=1,...,t i
e ha trovato un sistema per tradurre questo problema algebrico in un problema geometrico che sapeva risolvere.
Usando un foglio a quadretti, Gauss ha rappresentato i numeri che doveva sommare come pile di quadretti unitari.
Ha poi interpretato la somma dei primi n numeri come l'area del triangolo a gradini che aveva ottenuto. L'area cercata si può ottenere come la somma dell'area del triangolo di base n e altezza n più l'area totale degli n mezzi quadrati che rimangono fuori. Quindi
S(n) = (n2 + n)/2
Gauss ha utilizzato la relazione tra area e somma per risolvere il suo problema, ma la cosa interessante è che l'associazione tra area e somma è del tutto generale.
Nel caso della cinematica, se rappresentiamo la funzione v(t) in un piano cartesiano (t sulle ascisse e v sulle ordinate), l'area sottesa dal grafico di v(t) sarà uguale a x(t).
Non ci resta altro che dire a GeoGebra di misurare l'area in questione e sapremo dire istante per istante dove si trova l'oggetto che stiamo studiando.
Ricapitolando: nel modello a tempo discreto,
se conosciamo x(t) sappiamo ricavare v(t) algebricamente come v = D[x] e anche dare l'interpretazione geometrica di
velocità = pendenza di x(t) nel diagramma xt
se conosciamo v(t) sappiamo ricavare x(t) algebricamente come x = Σ[v] e anche dare l'interpretazione geometrica di
posizione uguale area sotto v(t) nel diagramma vt
Interpretazione geometrica del teorema fondamentale del calcolo.
Interpretazione geometrica del teorema fondamentale del calcolo.
Abbiamo visto che il teorema fondamentale del calcolo (teorema di Torricelli-Barrow) afferma che l'operatore Somma è l'inverso dell'operatore Differenza, ossia che
se F=S[f], allora D[F] = f cioè
F(t) - F(t-1) = Σi=1,...,t f(i) - Σi=1,...,t-1 f(i) = f(t)
se f=D[F], allora S[f] = F + costante, più precisamente,
Σi=1,...,t f(i) = Σi=1,...,t F(i) - F(i-1) = F(t) - F(0)
Sia l'operatore Differenza che l'operatore Somma hanno un'interpretazione geometrica:
Se rappresentiamo la funzione f(i) in un grafico cartesiano, possiamo identificare in D[f] la pendenza, cioè il coefficiente angolare (f(i)-f(i-1))/(i-(i-1)) della retta che passa per i punti (i;f(i)) e (i-1;f(i-1)).
Se rappersentiamo la funzione f(i) in un piano cartesiano, possiamo identificare Σ[f] come l'area compresa tra la curva e l'asse x.
Ambedue queste interpretazioni possono essere generalizzate al caso delle funzioni di variabile reale invece che intera: la pendenza corrisponderà all'operatore Derivata, che prende il posto dell'operatore differenza, mentre l'area corrisponderà all'operatore Integrale, che prende il posto dell'operatore somma.
Il teorema di Torricelli Barrow, sia nel caso di variabile intera che in quello di variabile reale dice che
la pendenza nel piano n-F è l'operatore inverso dell'area n-f.
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