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Post date: Sep 28, 2017 1:24:29 PM
Successioni
Successioni
Con la parola successione, si indica una funzione di variabile intera, ossia una legge che associa ad ogni numero intero un numero reale.
Puoi pensarla come una lista infinita di numeri reali (il numero della riga è associato al suo contenuto), come una sequenza di punti con ascissa intera sul piano cartesiano o meglio come una legge algebrica che associa
il numero intero n al numero reale an = a(n).
Ad esempio la successione an = n2 rappresenta l'area di un quadrato di lato n, mentre la successione
an = 2n tan(π/n) rappresenta l'area di un poligono regolare di n lati e apotema 1.
Definitivamente
Definitivamente
Diciamo che la successione an gode definitivamente della proprietà A, se tutti gli elementi della successione con n abbastanza grande godono della proprietà A.
In altre parole, tutti gli elementi della lista a partire da una riga in poi godono della proprietà A.
Esercizio svolto:
Dimostra che an= (n+3)/n2 è minore di 1/1000 definitivamente.
dim:
Per ogni n≥1, n+3 < 4n, e quindi
(n+3)/n2 < 4n/n2 = 4/n
se dunque n è tale che 4/n < 1/1000, siamo sicuri che anche (n+3)/n2 è minore di 1/1000.
Ma 4/n < 1/1000 equivale a n > 4000 ed è verificata definitivamente, esattamente da n=4001 in poi.
Esercizio svolto:
Dimostra che an= n/(n-5)2 è minore di 1/10 definitivamente.
dim:
Per ogni n ≥ 6, n-5 > n/6, e quindi
n/(n-5)2 < 36 n/n2 = 36/n
se dunque n ≥ 6 è tale che 36/n < 1/10, siamo sicuri che anche n/(n-5)2 è minore di 1/10.
Ma 36/n < 1/10 equivale a n > 360, implica n > 6, ed è verificata definitivamente.
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