Dimostrazione della formula risolutiva

Teorema:

le soluzioni dell'equazione

a x² + b x + c = 0,

dove a, b e c sono numeri reali con a ≠ 0, esistono solo se b²-4ac ≥ 0 e in questo caso sono date dalla formula

x_± =

Dimostrazione:

trasportiamo c ottenendo

a x² + b x = -c

Essendo a ≠ 0, l'equazione che otteniamo moltiplicando tutta l'equazione per 4a, ossia

4a²x² + 4ab x = -4ac ,

è equivalente a quella di partenza (secondo principio di equivalenza delle equazioni).

Completiamo il quadrato aggiungendo b² ad entrambi i membri. Riscrivendo i termini di primo e di secondo grado, otteniamo

(2ax)² + 2∙2ax∙b + b² = b² - 4ac.

Il membro di sinistra è il quadrato di un binomio (abbiamo aggiunto b² per questo motivo), quindi possiamo riscrivere l'equazione come

(2ax+b)² = b² - 4ac.

Essendo il quadrato di un numero, il membro di sinistra deve essere positivo, quindi se il membro di destra è negativo l'equazione non ha soluzione.

Altrimenti, posso prendere la radice quadrata di entrambi i membri ottenendo le due equazioni di primo grado

2ax + b = ± √(b² - 4ac).

Trasportando b, si ottiene

2ax = - b ± √(b² - 4ac).

Infine, dividendo per 2a arriviamo a

x = (- b ± √(b² - 4ac))/(2a),

che possiamo riscrivere come

x= x₊ oppure x= x_-