La congruenza dei triangoli.

Post date: Apr 23, 2016 7:30:28 AM

Definita la congruenza di segmenti e angoli, vogliamo definire cosa intendiamo per poligoni congruenti.

Siccome ogni poligono può essere scomposto in triangoli, sarà sufficiente occuparci della congruenza di questi per poi estendere i risultati a tutti i poligoni e in generale a tutte le figure piane.

Euclide, negli "elementi" aveva dimostrato tre teoremi, detti "criteri di congruenza", che permettono di confrontare due triangoli sulla base del confronto tra lati e angoli.

Hilbert stesso si è però accorto che la dimostrazione di Euclide era incompleta. Trovò anzi un controesempio: una geometria in cui i criteri di congruenza non valevano. Serviva quindi un nuovo postulato, perché i criteri di congruenza non si possono dimostrare sulla base dei postulati visti fin qui.

Il nuovo postulato corrisponde all'enunciato del primo criterio di congruenza tra i triangoli:

Postulato 10: Primo criterio di congruenza

Due triangoli che hanno due lati e l'angolo tra essi compreso congruenti, sono congruenti.

Utilizziamo GeoGebra per formulare qualche congettura su come generalizzare il primo criterio:

• • Quanti sono i triangoli con le tre caratteristiche date (due segmenti consecutivi e l'angolo costruito sull'ultimo estremo congruenti a quelli di un triangolo dato)?

  • Quanti di questi sono acutangoli?

  • Quanti di questi sono ottusangoli?

  • Il numero di triangoli che posso ottenere è lo stesso se l'angolo è adiacente al lato lungo o al lato corto?