Per il 31/10

Post date: Oct 29, 2018 9:15:46 AM

Generalizzazione a funzioni non monotòne

Diciamo che la funzione f(x) gode definitivamente della proprietà A, se la funzione calcolata in x "abbastanza grande" gode della proprietà A.

Ad esempio,

La funzione f(x) = 4x² - 100 x è definitivamente crescente, perché è una parabola con concavità verso l'alto e superato il vertice, più precisamente, per tutte le x maggiori dell'ascissa del vertice, è crescente. Quindi qui "abbastanza grande" significa maggiore di 25/2.
La funzione f(x) = x - sen x è definitivamente positiva. Qui non siamo in grado di calcolare esattamente il momento in cui la f(x) diventa positiva perché non sappiamo risolvere l'equazione x-sen x = 0. Possiamo però dire che se x è maggiore di 1, f(x) è maggiore di 0, perché x-sen x ≥ x-1 > 0. Quindi se x>1 è "abbastanza grande" .
- La definizione stessa di limite si può esprimere come ∀ ε>0 , |f(x) - L|<ε definitivamente.

Esercizio svolto:

Dimostra che a(n) = (n+3)/n²è minore di 1/1000 definitivamente.

dim:

Per ogni n≥1, n+3 < 4n, e quindi

(n+3)/n²< 4n/n² = 4/n

se dunque n è tale che 4/n < 1/1000, siamo sicuri che anche (n+3)/n²è minore di 1/1000.

Ma 4/n < 1/1000 equivale a n > 4000 ed è verificata definitivamente, esattamente da n=4001 in poi.

Esercizio svolto:

Dimostra che a(n) = n/(n-5)²è minore di 1/10 definitivamente.

dim:

Per ogni n ≥ 6, n-5 > n/6, e quindi

n/(n-5)²< 36 n/n² = 36/n

se dunque n ≥ 6 è tale che 36/n < 1/10, siamo sicuri che anche n/(n-5)²è minore di 1/10.

Ma 36/n < 1/10 equivale a n > 360, implica n > 6, ed è verificata definitivamente.

- dimostra che x³ > 1 definitivamente.
- dimostra che x^-4 < 1/10 definitivamente.
- dimostra che (x+1)(x-1)(x+3) > x definitivamente.
- dimostra che (x+3)/(x²-1) < 1 definitivamente.
- dati due poligoni regolari inscritti in una circonferenza, l'uno con numero di lati doppio dell'altro, dimostra che quello con il numero di lati maggiore ha area maggiore.

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