Post date: Jan 17, 2020 6:34:58 PM

Definizione: In matematica si chiama proposizione una affermazione per cui ha senso domandarsi se è vera oppure falsa.

Le proposizioni vengono affermate da una frase, detta enunciato. Il caso più tipico corrisponde al periodo ipotetico in grammatica:

SE (succede questo) ALLORA (succede quello).

La premessa (succede questo) in matematica si chiama ipotesi, la conclusione (succede quello) si chiama tesi.

Le proposizioni possono essere sia vere che false.

Un assioma (o postulato) è una proposizione che si assume come vera, la base di un modello o di una teoria.

Se pensiamo che una proposizione sia vera ma non sappiamo come dimostrarlo, la chiamiamo congettura.

Un Teorema invece è una proposizione di cui sappiamo dare una dimostrazione. Alcuni teoremi vengono detti lemmi, per dire che il risultato è interessante solo perché permette di provare un teorema, o corollari, quando sono casi particolari di teoremi più generali.

La maggior parte delle proposizioni che incontreremo sarà del tipo

SE ipotesi ALLORA tesi

Ad es: “SE due numeri sono pari ALLORA la loro somma è pari”

Nota che sia l'ipotesi che la tesi hanno un soggetto e descrivono le proprietà di questo soggetto.

Anche quando una proposizione non è nella forma “se ipotesi allora tesi” è spesso possibile riscriverlo in questa forma. Ad es,

“un triangolo con due lati congruenti ha due angoli congruenti”

può essere riscritta come

“SE un triangolo con due lati congruenti ALLORA ha due angoli congruenti”.

Altre forme altrettanto popolari per esprimere una proposizione sono

“CONDIZIONE SUFFICIENTE AFFINCHÉ tesi È ipotesi”

(cioè “è sufficiente che valga l'ipotesi perché valga la tesi”), oppure

“CONDIZIONE NECESSARIA AFFINCHÉ ipotesi È tesi”

(cioè “non può valere l'ipotesi se non vale anche la tesi”).

Nell'esempio in Fig. 1, la proposizione

Fig 1: Diagramma di Venn

“Il triangolo è incluso nel cerchio”

può diventare

“SE un punto è nel triangolo ALLORA è nel cerchio”

o equivalentemente

“CONDIZIONE SUFFICIENTE AFFINCHÉ un punto sia nel cerchio È che sia nel triangolo”

o anche

“CONDIZIONE NECESSARIA AFFINCHÉ un punto sia nel triangolo È che sia nel cerchio”.

Se in una proposizione scambiamo ipotesi e tesi, otteniamo la proposizione inversa. Ad esempio, la proposizione inversa di

“CONDIZIONE SUFFICIENTE AFFINCHÉ un punto sia nel cerchio È che sia nel triangolo”

è la proposizione

“CONDIZIONE SUFFICIENTE AFFINCHÉ un punto sia nel triangolo È che sia nel cerchio”,

che nell'esempio in Fig 1. è falsa.

Quando vogliamo affermare contemporaneamente sia una proposizione che la sua inversa, ossia che ipotesi e tesi sono condizioni equivalenti, diciamo che abbiamo una condizione “necessaria e sufficiente”.

Ad esempio, la proposizione

“CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE AFFINCHÉ un triangolo sia rettangolo È che la somma dei quadrati costruiti sui due lati più corti sia equivalente al quadrato costruito sul lato più lungo”

afferma contemporaneamente l'enunciato del teorema di Pitagora e il suo inverso. Entrambe le proposizioni sono vere e dimostrabili.

Negazione di una proposizione

Fig 2: Negazione della proposizione in Fig. 1

La negazione di una proposizione, ossia l'affermazione che una proposizione è falsa è anch'essa una proposizione.

In tutti i casi che abbiamo visto nel paragrafo precedente, abbiamo esaminato proposizioni del tipo:

“ogni volta che vale l'ipotesi, vale sempre la tesi.”

Per negare la proposizione

“Tutti i punti del triangolo sono nel cerchio”

dobbiamo affermare di essere in una situazione come quella della figura 2, cioè che

“Esiste (almeno) un punto del triangolo che è fuori dal cerchio”.

Per negare il valore di una proposizione che afferma una proprietà generale, dobbiamo solo mostrare che esiste almeno un caso in cui la proprietà non vale.

Continua...