Somma e prodotto dei limiti

Post date: Nov 04, 2017 11:23:33 AM

Teorema della somma dei limiti:

se a_n ha limite a e b_n ha limite b, allora la successione c_n = a_n + b_n ha limite a+b.

In altre parole, il limite della somma è uguale alla somma dei limiti (se questi esistono e sono finiti)

Traccia della dimostrazione:

• • sia ε>0 un numero positivo, e sia ε' = ε/2

  • se a_n ha limite a, esiste un numero k per cui |a_n-a|< ε' per tutti gli n>k

  • analogamente, se b_n ha limite b, esiste un numero h per cui |b_n-b|< ε' per tutti gli n>h

  • quindi, per tutti gli n>max{k,h}, devono valere sia |a_n-a|< ε' che |b_n-b|< ε'

  • adesso usa la disuguaglianza triangolare con x=a_n-a e y=b_n-b, scoprendo che

|c_n - (a+b)| = |a_n-a + b_n-b| ≤ |a_n-a| + |b_n-b| < 2ε' = ε

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Esercizio: usa la disuguaglianza triangolare per dimostrare il

Teorema del prodotto dei limiti:

se a_n ha limite a e b_n ha limite b, allora la successione c_n = a_n b_n ha limite ab.

In altre parole, il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti (se questi esistono e sono finiti)

Traccia della dimostrazione:

• • sia ε>0 un numero positivo, chiama ε' = ε/(2|b|) e ε" =ε/(2(|a|+ ε')). Ambedue sono positivi.

  • se a_n ha limite a, esiste un numero k per cui |a_n-a|< ε' per tutti gli n>k

  • usa la disuguaglianza triangolare con x=a e y= a_n-a, e dimostra che |a_n|<|a|+ε'

  • analogamente, se b_n ha limite b, esiste un numero h per cui |b_n-b|< ε" per tutti gli n>h

  • quindi, per tutti gli n>max{k,h}, devono valere sia |a_n-a|< ε' che |b_n-b|< ε"

  • adesso usa la disuguaglianza triangolare con x = a_nb_n - a_nb e y= a_nb - ab, scoprendo che

|c_n-ab| = |a_nb_n - a_nb + a_nb - ab| ≤ |a_nb_n - a_nb| + |a_nb - ab| = |a_n||b_n - b| + |b||a_n - a| <

|a_n|ε" + |b|ε'

e usando le definizioni di ε' ed ε" insieme alla disuguaglianza |a_n|<|a|+ε' , trovi

|c_n-ab| < (|a|+ε') ε/(2(|a|+ ε')) + |b|ε/(2|b|) = ε

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