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Post date: Nov 24, 2017 7:19:18 PM
In molte applicazioni è interessante sapere di quanto aumenta o diminuisce una successione. Chiamiamo questa quantità incremento, oppure differenza o ancora derivata, a seconda del contesto.
Se an rappresenta il saldo di un conto in banca al mese n, la quantità an+1 - an rappresenta i soldi guadagnati durante il mese n; se an è la popolazione di un dato paese all'anno n, la quantità an+1 - an rappresenta il numero di nascite durante l'anno n; se xn rappresenta la posizione di un oggetto al tempo nδ, la quantità (xn+1 - xn)/δ rappresenta la velocità al tempo nδ. Altri esempi sono l'accelerazione, che è legata all'incremento di velocità, la forza, che è legata all'incremento dell'energia potenziale e molti altri.
Definizione (Differenza):
Data la successione an , indichiamo con il simbolo D[an] la successione an+1 - an .
D è quello che si chiama un "operatore": trasforma una successione in una successione diversa.
Se rappresentiamo la successione an in un grafico cartesiano, la quantità D[an] ha il significato di altezza del salto tra i punti an+1 e an , ma ha anche il significato di coefficiente angolare della retta che passa per i punti (n+1;an+1) e (n;an).
Conoscendo la successione an , è semplice calcolare D[an] .
Esempio:
Osserviamo il moto di un oggetto in un film. Indichiamo con n il numero del fotogramma e chiamiamo xn la posizione di un oggetto al tempo t=nδ. La velocità media vn nell'intervallo di tempo che va da δn a δ(n+1) è data dallo spostamento D[xn] diviso la durata dell'intervallo, che è δ.Supponiamo di sapere che xn = vδn,
dove v è una costante; allora possiamo calcolare D[xn] = vδ (n+1) - vδn = vδ. Dunque la velocità media vn tra due fotogrammi è costante ed uguale a v.
Qui la velocità media è vn = D[xn ] /δ = (½ aδ²(n+1)² - a(δn)²) /δ = ½ aδ(n² +2n +1 - n²) = a(δn + ½δ)
Esempio:Supponiamo invece che il treno stia partendo e di sapere che xn = ½ a(δn)².
Ricordando che t=nδ e trascurando la quantità ½δ, che è piccola e che dipende dalla nostra cinepresa e non dal fenomeno che stiamo osservando, otteniamo che la velocità al tempo t per questo treno in partenza è at.
Siccome la velocità cambia istante per istante, diciamo che c'è una accelerazione. L'accelerazione media tra due fotogrammi si esprime nuovamente come una derivata:
an = D[vn ] /δ = (a(δ(n+1) + ½δ) - a(δn + ½δ))/δ = a
Quindi se la posizione del treno segue la legge quadratica xn = ½ a(δn)² nel tempo δn, concludiamo che il moto è uniformemente accelerato con accelerazione a.
È possibile fare l'operazione inversa? Ossia data la successione dn trovare una successione an in modo che dn = D[an]?
Sapendo la rata del mutuo, e il numero di rate che ho pagato, è possibile sapere quanti soldi ho già pagato? Anche nel caso di rate variabili? Conoscendo le entrate e le spese mensili, è possibile stabilire il saldo del tuo estratto conto?
In laboratorio, dalla tabella delle nascite mensili nel comune di Prato abbiamo ricavato la popolazione dei nati dopo il gennaio 2009 mese per mese: dall'incremento, abbiamo ricavato la successione che ha quell'incremento: è bastato sommare tutti i nati fino al mese che ci interessava per sapere la popolazione in quel momento.
L'operatore inverso dell'operatore differenza prende il nome di operatore somma.
Definizione (Somma)
La successione somma Sn = a1 + a2 + a3 + .... + an , il cui n-esimo elemento è la somma dei primi n termini della successione an, si indica come
Σ[an]
o, più frequentemente, si in dica l'n-esimo elemento della successione somma come
Sn = Σi=1,...,n ai
(questa scrittura si legge come "somma per i che va da 1 ad n di a con i").
Vale il
Teorema fondamentale del calcolo (di Torricellii-Barrow)
L'operatore differenza è l'inverso dell'operatore somma; più precisamente, per qualsiasi successione an
1) an+1 = D[Σ[an]]
e
2) an+1 - a1 = Σ[D[an]]
Dimostrazione:
1) Direttamente dalla definizione,
D[Σ[an]] = (a1 + a2 + a3 + .... + an + an+1 ) - (a1 + a2 + a3 + .... + an ) = an+1
perché tutti i termini si semplificano tranne an+1
2) Per definizione,
Σ[D[an]] = (a2 - a1 ) + (a3 - a2 ) + ... + (an+1 - an) = an+1 e a1
perché tutti i termini si semplificano tranne an+1 e a1
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