I postulati della Geometria: Ordine

Sono sufficienti i postulati che conosciamo per definire la semiretta?

In classe abbiamo visto qualche tentativo di definizione come:

1. "metà di una retta"

2. "un insieme infinito di punti allineati"

3. "una parte della retta che ha un inizio ma non una fine"

4. "un insieme di punti allineati che parte da un'origine e arriva all'infinito

e altre di questo tipo.

• 1. Il difetto della prima definizione è che è troppo vaga: non si capisce che senso abbia la metà di un insieme infinito.

  2. La seconda potrebbe benissimo adattarsi ad un segmento, oppure ad una linea tratteggiata.

  3. 4. Nella terza e nella quarta comincia a delinearsi l'idea di un punto di partenza, ma a ben guardare nessuno dei postulati fin qui enunciati ci permette di dire che prediamo solo punti da una parte e non dall'altra. In più niente ci assicura di non aver lasciato buchi.

Teorema: Dato un segmento AB, c'è un'unica retta che lo contiene.

Dimostrazione:

• 1. Per il postulato 1 A e B individuano una sola retta.

Quod Erat Demostrandum

Teorema: Se il segmento AB e il segmento BC hanno in comune un punto interno, allora sono allineati

Dimostrazione:

• 1. Chiamiamo P il punto interno comune tra AB e BC di cui ci parlano le ipotesi.

  2. Il postulato 1 ci dice che la retta passante per B e P è unica. La chiamiamo r.

  3. Per definizione il segmento AB è parte di una retta, che deve contenere tutti i suoi punti, in particolare P.

  4. Ma per il postulato 1, l'unica retta che contiene B e P è r. Dunque il segmento AB è parte di r.

  5. Per lo stesso motivo il segmento BC è contenuto in r.

Quod Erat Demostrandum

Teorema: Se il segmento AB e il segmento BC hanno in comune un punto interno, allora uno contiene l'altro.

Dimostrazione:

• 1. Chiamiamo P il punto interno comune tra AB e BC di cui ci parlano le ipotesi.

  2. Il teorema precedente ci dice che AB e BC sono allineati. Chiamiamo r la retta che contiene AB e BC.

  3. Il postulato 4 ci permette di scegliere un ordine trai punti della retta in modo che A preceda B.

  4. Così facendo, per definizione di segmento, tutti i bunti di AB precedono B.

  5. Ho 3 possibilità:

     1. C segue B. Ma questa va scartata perché per la seconda parte del postulato d'ordine tutti i punti di BC seguirebbero B e quindi non esisterebbe un punto P comune ai due segmenti.

     2. C è compreso tra A e B

        • Allora per definizione di segmento, e per la seconda parte del postulato d'ordine, tutti i punti Q di CB sarebbero compresi tra A e B perché A < C < Q <B. In altre parole il segmento CB sarebbe contenuto in AB.

     3. A è compreso tra C e B

        • Per lo stesso motivo il segmento AB sarebbe contenuto in CB.

Quod Erat Demostrandum