Limite di funzione monotòna

Successioni

Definizione: una funzione f dall'insieme D all'insieme C , in formule

f : D → C

è una legge che ad ogni elemento x di D associa un unico elemento di C, in formule

f : x → f(x).

Definizione: una successione è una funzione dall'insieme ℕ dei numeri naturali all'insieme ℝ dei numeri reali.

Notazione: per indicare l' n-esimo elemento di una successione f : ℕ → ℝ , si preferisce usare la notazione f_n invece di f(n).

Limiti

Esempio: Una rana deve attraversare una strada larga 1m. Al primo balzo riesce a coprire metà tragitto, ma si stanca, così che al secondo salto riesce a coprire solo la metà della distanza rimanente. Siccome si stanca ulteriormente, ad ogni salto la distanza che riesce a coprire è solo la metà di quanto gli resta per arrivare in salvo.La rana non arriverà mai a completare il tragitto, ma si avvicinerà sempre di più alla meta.A che distanza dalla partenza sarà arrivata all' n-esimo salto?Al momento della partenza, la distanza è d₀ = 0; al primo salto diventa d₁ = 1/2, poi d₂ = 3/4 e così via. Al salto numero n, gli rimarrà da percorrere 2^-n, quindi in generale d_n = 1 - 2^-n.

Se è vero che la rana non arriverà mai al traguardo, è anche vero che si avvicinerà moltissimo. Ad esempio, dopo 33 passi la sua distanza dal traguardo sarà inferiore al diametro di un atomo.

Esprimiamo questo tipo di comportamento con la nozione di limite: diciamo che "al limite la rana percorre 1 m". In qualche modo, l'idea è che se la rana potesse percorrere infiniti salti, arriverebbe ad attraversare la strada.

Ma l'infinito è un concetto complicato, e per chiarire cosa intendiamo con la parola limite, dobbiamo procedere con cautela.

"I numeri naturali sono infiniti" significa che non sono un insieme finito.Per convincerci di questo fatto, basta notare che per ogni numero, esiste sempre un numero più grande.Questo stesso schema "per ogni" , "esiste" è alla base della definizione di limite.Usiamo il simbolo Ɐ per "per ogni" e il simbolo Ǝ per "esiste".

I matematici greci, in particolare Archimede, avevano formalizzato un concetto geometrico di limite.

L'esempio più noto è quello del problema della "quadratura del cerchio":

L'area di un cerchio può essere approssimata per difetto da quella di un poligono regolare di n lati inscritto nel cerchio e può essere approssimata per eccesso da quella di un poligono regolare di n lati circoscritto al cerchio.

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Esercizio: usando le tue conoscenze trigonometriche, calcola

Più aumenta il numero dei lati dei poligoni e più ci avviciniamo all'area del cerchio.

Formalizziamo quindi l'idea che possiamo avvicinarci quanto vogliamo al valore limite, a patto di prendere n abbastanza alto. Nel caso della rana, bastano pochi salti per essere vicinissimi al valore limite; nel caso dei poligoni, la convergenza è molto più lenta, ma se insistiamo, possiamo usare questo sistema per dare una stima precisa quanto vogliamo di π.

Ancora una volta, siamo di fronte ad uno schema del tipo "per ogni" , "esiste" (Ɐ, Ǝ): prima decidiamo con quale precisione vogliamo stimare π e solo dopo possiamo stabilire quanti lati ci servono, ma non c'è dubbio che esista un poligono che approssimi l'area del cerchio con la precisione che abbiamo scelto.

Notiamo anche che la precisione aumenta all'aumentare di n.