I postulati della geometria: Congruenza

Post date: Apr 06, 2016 10:48:34 AM

Vogliamo introdurre una relazione di uguaglianza per confrontare le figure geometriche.

Già Euclide, aveva proposto una nozione per cui due figure "sovrapponibili" erano considerate equivalenti. "Sovrapponibili" (o "congruenti") per Euclide voleva dire che è possibile far coincidere una figura con l'altra attraverso uno "spostamento rigido". Lo spostamento rigido era una nozione primitiva.

Noi diamo essenzialmente la stessa nozione attraverso 3 postulati:

Postulato 7

La congruenza è una relazione di equivalenza.

Definizione: Le relazioni di equivalenza sono relazioni che godono di 3 proprietà:

• 1. Riflessività: F = F

  2. Simmetria: Se F=G allora G=F

  3. Transitività: Se F=G e G=H allora F=H

L'idea è di considerare come equivalenti tutte le figure sovrapponibili, disinteressandoci della loro posizione. In altre parole, tutti i segmenti lunghi 3 metri saranno equivalenti tra loro, tutti i quadrati di lato 0,5 metri saranno equivalenti tra loro ecc.

Dobbiamo però ancora dire quale relazione di equivalenza rappresenta la congruenza. Cioè dobbiamo ancora dire che congruenza vuol dire sovrapponibilità.

A questo provvedono i prossimi due postulati:

Postulato 8: del trasporto dei segmenti orientati

Dati una semiretta r di origine O e un segmento orientato AB,

esiste ed è unico il segmento orientato OX sulla semiretta r che è congruente ad AB.

Questo postulato ci dice che è possibile "trasportare" il segmento AB sulla semiretta r, facendo coincidere il primo estremo con l'origine O e individuando un opportuno punto X come secondo estremo.

Se vogliamo considerare la congruenza tra figure piane, abbiamo bisogno di qualcosa di più:

Postulato 9: del trasporto degli angoli orientati

Dati una semiretta r' di origine O' e un angolo orientato rOs (delimitato dalle semirette r ed s di origine comune O),

esiste ed è unico l'angolo orientato r'Os' (delimitato dalle semirette r ed s di origine comune O) che è congruente ad rOs.