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Post date: Mar 04, 2016 4:54:25 PM
Inserisco qui qualche commento alla teoria contenuta nel libro.
Ti ricordo che una teoria assiomatica è una sorta di "realtà virtuale", fondata su regole di base dette assiomi o postulati. La geometria euclidea è una teoria assiomatica "realistica", nel senso che è un'ottimo modello per descrivere la realtà, ma non va confusa con questa.
Per dimostrare un teorema non possiamo ricorrere ad un esperimento, ma dobbiamo usare i postulati o altri teoremi già dimostrati.
Gli enunciati e le dimostrazioni dei teoremi che trovi qui sotto NON vanno imparati. Hanno la funzione di esempi: servono a capire qual è la funzione dei diversi postulati nella geometria euclidea.
Servono anche a capire come si organizza una dimostrazione, anche se gli enunciati sono talmente semplici che probabilmente tutto sembra un po' vano. Dovrai aspettare un po' per arrivare a teoremi con un contenuto geometrico interessante.
Postulato 0:
Postulato 0:
Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani.
Il piano contiene infiniti punti, infinite rette.
La retta contiene infiniti punti.
Nell'esposizione del vostro libro, forse questo è uno dei punti più criticabili: bastava dire che su una retta ci sono almeno due punti, che nel piano c'è almeno un punto esterno ad una retta e che nello spazio cè almeno un punto esterno ad un piano.
Con l'enunciato del libro viene meno la richiesta di indipendenza degli assiomi, ma è una finezza che non ci disturba poi molto.
Postulato 1:
Postulato 1:
Per due punti distinti passa una e una sola retta.
Questo postulato ci dice che due punti individuano in maniera univoca una retta. Invece due punti non basteranno ad individuare una circonferenza o un piano.
Teorema: Se A, B e C sono tre punti allineati e B e C sono allineati anche con il punto D, allora tutti e quattro i punti sono allineati.
Dimostrazione:
Per il Postulato 1, per i punti B e C passa un'unica retta. Chiamiamola r.
Siccome per ipotesi A è allineato (cioè giace su una stessa retta) con B e C, A deve essere sulla retta r.
Per lo stesso motivo, anche D deve essere sulla retta r.
Quindi A, B, C e D giacciono su una stessa retta, cioè sono allineati.
Quod Erat Demostrandum
.
Teorema: Se due rette sono distinte, non hanno più di un punto in comune.
Dimostrazione:
Falla tu basandoti sul postulato 1.
Postulato 2:
Postulato 2:
Per tre punti distinti e non allineati, passa uno e un solo piano.
Questo postulato è in qualche modo analogo al precedente: 3 punti distinti individuano in maniera univoca un piano.
Se invece i punti sono allineati o coincidenti, che succede? Possiamo dire che il piano esiste comunque ma che non è unico?
NO. Servono altri postulati.
Postulato 3:
Postulato 3:
Se due punti di una retta appartengono ad un piano, allora l'intera retta appartiene al piano.
Questo postulato serve a dirci che il piano è "piatto". Non importa quale coppia di punti io scelga su un piano, la retta che individuano non esce dal piano.
Sappiamo dimostrare che il piano è l'unica figura geometrica con questa proprietà?
No, servono altri postulati.
Teorema: Se A, B e C sono tre punti distinti ma allineati, esiste comunque un piano che li contiene.
Dimostrazione:
Per il Postulato 0, esiste un punto P esterno alla retta (perché lo spazio contiene infinite rette ed ogni retta ha almeno un punto).
Per il postulato 2, esiste un piano che passa per A, B e P. Chiamiamolo π.
Dobbiamo dimostrare che anche C è nel piano π. Ma C è per ipotesi un punto della retta passante per A e B.
Il postulato 3 ci garantisce che tutti i punti di questa retta sono nel piano π.
Quod Erat Demostrandum
Teorema: Una retta e un punto esterno ad essa sono sempre complanari (cioè esiste un piano che li contiene entrambi).
Dimostrazione:
Per il postulato 0, sulla retta r esistono due punti distinti. Chiamiamoli A e B.
Per ipotesi il punto P è esterno alla retta, quindi A, B e P non sono allineati e sono distinti.
Per il postulato 2, A, B e P individuano un piano. Chiamiamolo π.
P naturalmente appartiene al piano, dobbiamo solo mostrare che la retta r è contenuta nel piano. Per questo usiamo il postulato 3: A e B sono infatti due punti di r che sono sul piano π.
Quod Erat Demostrandum
Teorema: Due rette incidenti (cioè distinte che si incontrano) sono sempre complanari.
Dimostrazione:
Per ipotesi, le rette si incontrano in un punto. Chiamiamolo P.
Per ipotesi le rette sono distinte, quindi esiste almeno un punto che appartiene ad una retta ma non all'altra. Chiamiamo A questo punto e r la retta per A e P.
Per il postulato 0, la retta che non contiene A contiene almeno un alto punto. Chiamiamo B questo punto e s la retta per B e P.
Per il postulato 2, A, B e P appartengono ad un solo piano. Chiamiamolo π.
Per il postulato 3, la retta r è interamente contenuta in π perché ha due punti in π.
Ma per lo stesso motivo anche la retta s è interamente contenuta in π.
Quod Erat Demostrandum
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