Ottica Geometrica

L'ottica (contrariamente all'etimologia della parola) si occupa di spiegare i fenomeni legati alla luce. Nel corso della storia, sono stati sviluppati vari modelli dei fenomeni che via via venivano presi sotto esame, e benché l'ottica sia stata una delle prime teorie fisiche ad essere matematizzate, la piena comprensione dei fenomeni legati alla luce si è avuta solo nel 1900.

Dall'epoca ellenistica ci sono pervenuti solo i trattati di Euclide (lo stesso creatore della Geometria Euclidea), ma dell'argomento si sono occupati tra gli altri anche Archimede (cui la leggenda attribuisce l'invenzione degli "specchi ustori"), Apollonio (famoso per il trattato sulle coniche) e Ipparco.

Mezzo millennio dopo Euclide, l'ottica di Claudio Tolomeo rappresenta un parziale recupero delle opere di questi autori, ma una parte dei risultati (fondamentali quelli sulle proprietà ottiche delle coniche) erano andati perduti; su di questi abbiamo solo notizie frammentarie e congetture.

I fenomeni descritti comprendevano le ombre e la formazione delle immagini da parte di specchi e lenti. Venne sviluppata anche una teoria del colore, della quale non ci occuperemo.

Già da millenni era disponibile la tecnologia per creare specchi piani e curvi.

Meno sviluppata era la tecnologia per creare le lenti, ma abbiamo reperti storici cretesi, cartaginesi e anche romani di lenti usate per accendere il fuoco e persino di alcuni reperti di qualità tale da poter fungere da lente di ingrandimento.

Le fonti letterarie sull'uso di lenti di ingrandimento sono molto scarse ma non del tutto assenti: ad es. Plinio descrive un monocolo di smeraldo di proprietà dell'imperatore Nerone, mentre Alceo e Strabone usano il termine δìoπτoν per descrivere oggetti che ingrandiscono le immagini, esattamente il significato che ha oggi la parola diottro.

Il Raggio luminoso

Naturalmente, il linguaggio matematico dell'ottica di Euclide non era l'algebra (che sarebbe stata sviluppata dopo oltre un millennio e mezzo) ma la geometria.

L'ente fondamentale dell'ottica geometrica è il raggio luminoso. L'ipotesi fisica è che la luce si propaghi in maniera rettilinea, in modo che il raggio luminoso corrisponda ad una semiretta che ha origine dalla sorgente della luce.

Esattamente come la retta è l'astrazione di un oggetto così stretto da poterne trascurare larghezza e spessore, il raggio luminoso è l'astrazione di un fascio di luce così stretto da poterne trascurare l'apertura.

Nello stesso modo, possiamo pensare le sorgenti luminose e anche i rilevatori di luce (come l'occhio o la macchina fotografica) come composti da punti. E' chiaro quindi come la geometria sia il linguaggio naturale per descrivere questa teoria della luce.

Il raggio luminoso è un segmento (orientato) che va dalla sorgente all'osservatore. Invertendo la posizione di osservatore e sorgente, cambia solo l'orientamento del segmento, ma non la sua posizione (principio di reversibilità dei cammini ottici).

Gli assiomi fondamentali sono

• la luce si propaga seguendo i raggi (cioè in maniera rettilinea)

• quando incontra una superficie riflettente il raggio viene riflesso secondo la legge della riflessione (che enuncieremo tra poco)

• quando incontra un oggetto trasparente, il raggio viene rifratto (cioè deviato) secondo la legge della rifrazione (che enuncieremo tra poco e che è stata compiutamente enunciata nel medioevo arabo da

  • Ibn Sahl e poi riscoperta da Snell)

Gli studi Greci vengono ripresi e continuati dagli Arabi (in particolare da al-Hàitham).

Tra il 1500 e il 1600, si perfeziona in Europa la tecnologia per creare le lenti, vengono inventati gli occhiali e il cannocchiale.

Si occupano di ottica Keplero, Cartesio e Fermat.

Con il perfezionarsi delle lenti, si scoprono alcune proprietà della luce che non si possono spiegare con un modello così semplice come l'ottica geometrica.

Nasce quindi, verso la fine del 1600, soprattutto ad opera di Huygens, l'ottica ondulatoria: una teoria simile all'acustica che spiega questi nuovi fenomeni, teoria della quale ci occuperemo in un secondo momento.

Le ombre

Vedi cap 22 paragrafo 1 del libro.

La catottrica

La teoria della riflessione, o catottrica si occupa degli specchi, ed è il principale campo di applicazione in cui è nata l'ottica geometrica.

Lo specchio piano

Come viene riflesso un raggio luminoso?

Dall'esperienza di laboratorio, abbiamo scoperto la

Legge della riflessione

Nella riflessione di un raggio luminoso da parte di uno specchio,

• raggio incidente, perpendicolare allo specchio e raggio riflesso sono complanari

• l'angolo tra il raggio incidente e la perpendicolare allo specchio nel punto di incidenza (detto angolo di incidenza) è uguale all'angolo tra la perpendicolare allo specchio e il raggio riflesso (detto angolo di riflessione)

Assumiamo questa legge come un assioma dell'ottica geometrica. In altre parole, costruiamo un modello in cui la luce percorre traiettorie rettilinee e vale la legge della riflessione.

Immagine virtuale

Quando osserviamo l'immagine di un oggetto che si riflette in uno specchio piano, ci sembra che la luce provenga da un oggetto che si trova dietro lo specchio, precisamente in posizione simmetrica rispetto alla sua posizione reale (simmetria planare).

E' possibile spiegare questo fenomeno attraverso il nostro modello:

Nella figura qui accanto, il punto B della lampadina emette un raggio che incontra lo specchio in C e viene riflesso. E' facile mostrare (utilizzando la legge della riflessione e la similitudine dei triangoli CHB e CHB'') che il prolungamento del raggio riflesso passa per il punto B''.

Lo stesso avviene per tutti i raggi che partendo da B incontrano lo specchio, cosicché, dovunque sia l'osservatore, se indirizza lo sguardo verso B'' vede i raggi come se provenissero da B''. In altre parole, l'osservatore non ha modo di capire che i raggi non provengono da B'' ma da B.

Esprimiamo questo fatto dicendo che lo specchio forma un'immagine virtuale. L'aggettivo "virtuale" qui ha il significato di "dietro lo specchio".

Specchi Curvi

Gli specchi piani sono i più comuni, ma in varie applicazioni vengono usati specchi curvi.

I riflettori dell'automobile, gli specchietti retrovisori, gli specchietti da trucco di tipo ingrandente, gli specchi grandangolari usati nei supermercati o agli incroci stradali, i riflettori dei telescopi e le antenne paraboliche sono solo alcuni esempi.

In generale gli specchi curvi ingrandiscono o rimpiccioliscono le immagini, a volte le capovolgono e le distorcono. Può il nostro modello spiegare il funzionamento degli specchi curvi?

Noi abbiamo scoperto la legge della riflessione osservando gli specchi piani, ma un ragionamento piuttosto convincente ci spinge a generalizzare la legge della riflessione anche al caso degli specchi curvi:

siccome il nostro modello parla di raggi, cioè di semirette che hanno larghezza nulla, il raggio incide lo specchio in un preciso punto. E' ragionevole supporre che il raggio "non distingua" la curva dello specchio dal suo piano tangente, perché per farlo dovrebbe esplorare le vicinanze del punto di incidenza.

Avanziamo quindi una nuova congettura: che la legge della riflessione si estenda al caso della riflessione da superfici non piane, chiarendo che per "perpendicolare alla superficie" intendiamo la perpendicolare al piano tangente nel punto di incidenza. Vediamo dove ci porta questa congettura e verifichiamo i risultati sperimentalmente.

La prima domanda che ci poniamo è se esista l'analogo dell'immagine virtuale anche nel caso degli specchi curvi, una domanda cui, con ogni probabilità, avevano già risposto i matematici greci.

Proprietà ottiche delle coniche